Bài 77 trang 127 SGK giải tích 12 nâng cao

118 lượt xem

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a
LG b

Giải phương trình:

LG a

${2^{{{\sin }^2}x}} + {4.2^{{{\cos }^2}x}} = 6$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\,{2^{{{\sin }^2}x}} + {4.2^{{{\cos }^2}x}} = 6$

$\Leftrightarrow {2^{1 - {{\cos }^2}x}} + {4.2^{{{\cos }^2}x}} = 6$

$\Leftrightarrow \frac{2}{{{2^{{{\cos }^2}x}}}} + {4.2^{{{\cos }^2}x}} = 6$

Đặt $t = {2^{{{\cos }^2}x}}$

Vì $0 \le {\cos ^2}x \le 1$ $\Rightarrow {2^0} \le {2^{{{\cos }^2}x}} \le {2^1}$ $\Rightarrow 1 \le t \le 2$

Ta có:

${2 \over t} + 4t = 6$ $\Leftrightarrow 4{t^2} - 6t + 2 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 1 \hfill \cr t = {1 \over 2}\,\,\left( \text{loại} \right) \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow {2^{{{\cos }^2}x}} = 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}x = 0$

$\Leftrightarrow \cos x = 0 \Leftrightarrow x = {\pi \over 2} + k\pi ,\,k \in \mathbb Z$

LG b

${4^{3 + 2\cos 2x}} - {7.4^{1 + \cos 2x}} = {4^{{1 \over 2}}}$

Lời giải chi tiết:

${4^{3 + 2\cos 2x}} - {7.4^{1 + \cos 2x}} = {4^{{1 \over 2}}}$

$\Leftrightarrow {4}{.4^{2 + 2\cos 2x}} - {7.4^{1 + \cos 2x}} = 2$

$\Leftrightarrow {4.4^{2\left( {1 + \cos 2x} \right)}} - {7.4^{1 + \cos 2x}} = 2$

Đặt $t = {4^{1 + \cos 2x}}\,\left( {t > 0} \right)$

Ta có:

$\eqalign{ & 4{t^2} - 7t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 2 \hfill \cr t = - {1 \over 4}\,\left( \text {loại} \right) \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow {2^{2 + 2\cos 2x}} = 2 \Leftrightarrow 2 + 2\cos 2x = 1 \cr & \Leftrightarrow \cos 2x = - {1 \over 2} = \cos {{2\pi } \over 3} \cr & \Leftrightarrow 2x = \pm {2\pi \over 3} + k2\pi ,\,k \in \mathbb Z \cr}$

$\Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in Z$

SGK Toán 12 Nâng cao