Cho hai đường thẳng: d:x1=y−12=z−63 và
d′:{x=1+ty=−2+t3−t.
LG a
Chứng minh hai đường thẳng đó chéo nhau. Tìm góc giữa chúng.
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng đi qua M(0; 1; 6) và có vectơ chỉ phương →u=(1;2;3).
Đường thẳng d’ đi qua M′(1;−2;3) có vectơ chỉ phương →u′=(1;1;−1).
Ta có →MM′=(1;−3;−3); [→u,→u′]=(−5;4;−1)
⇒[→u,→u′].→MM′ =−5.1−3.4+1.3=−14≠0.
Vậy hai đường thẳng d và d’ chéo nhau.
Vì →u.→u′=1.1+2.1−3.1=0 ⇒d⊥d′.
LG b
Tìm khoảng cách giữa d và d’.
Lời giải chi tiết:
Gọi h là khoảng cách giữa d và d’, ta có:
h=|[→u,→u′].→MM′||[→u,→u′]|=14√25+16+1=√423.
LG c
Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của d và d’.
Lời giải chi tiết:
d có phương trình tham số là
{x=ty=1+2tz=6+3t.
Lấy điểm N(t; 1 + 2t; 6 + 3t)∈d và N′(1+t′;−2+t′;3−t′)∈d′.
NN’ là đường vuông góc chung của d và d’ khi và chỉ khi →NN′⊥→u và →NN′⊥→u′. Ta có:
→NN′=(1+t′−t;−3+t′−2t;−3−t′−3t){→NN′.→u=0→NN′.→u′=0⇔{1+t′−t+2(−3+t′−2t)+3(−3−t′−3t)=01+t′−t−3+t′−2t+3+t′+3t=0⇔{−14−14t=01+3t′=0⇔{t=−1t′=−13
Vậy N(−1;−1;3) và N′(23;−73;103).
→NN′=(53;−43;13).
Phương trình đường vuông góc chung qua N(−1;−1;3) và có vectơ chỉ phương →v=3→NN′=(5;−4;1) nên có phương trình tham số là:
{x=−1+5ty=−1−4tz=3+t
Cách khác:
Theo câu a, ta có d⊥d', vậy đường vuông góc của d và d’ chính là giao tuyến của mp(P) và mp(Q).
Trong đó mp(P) chứa d và vuông góc với d’, mp(Q) chứa d’ và vuông góc với d.
(P) đi qua M(0;1;6) và nhận →u′=(1;1;−1) làm VTPT nên có phương trình là:
1(x-0)+1(y-1)-1(z-6)=0
⇔ x+y-z+5=0
(Q) đi qua M′(1;−2;3) và nhận →u=(1;2;3) làm VTPT nên có phương trình là:
1(x-1)+2(y-2)+3(z-3)=0
⇔x+2y+3z-6=0
Vậy phương trình đường vuông góc chung của d và d’ là: {x+y−z+5=0x+2y+3z−6=0
Cho x=−1 ⇒{y−z=−42y+3z=7⇔{y=−1z=3 ta được điểm A(−1;−1;3)∈Δ.
Δ là giao tuyến của (P) và (Q) nên →uΔ=[→n(P),→n(Q)]=(5;−4;1).
Vậy Δ có PTTS {x=−1+5ty=−1−4tz=3+t
LG d
Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả d và d’.
Lời giải chi tiết:
Giả sử đường thẳng Δ song song với Oz, cắt d và d’ lần lượt tại A và B.
Khi đó ta có A(t;1+2t;6+3t), B(1+t′,−2+t′,3−t′) và →AB=(1+t′−t;−3+t′−2t;−3−t′−3t).
Vì →AB cùng phương với →k=(0;0;1) nên
1+t′−t=−3+t′−2t=0 ⇒{t=−4t′=−5.
Vậy A(−4;−7;−6) và →AB=(0;0;14).
Vậy phương trình của Δ là
{x=−4y=−7z=−6+t
Cách khác:
Đường thẳng song song với Oz và cắt cả d và d’ là giao tuyến của mp(α) và mp(β);
Trong đó (α) là mặt phẳng chứa d và song song với Oz.
(β) là mặt phẳng chứa d’ và song song với Oz.
Đường thẳng Oz có vectơ chỉ phương là →k=(0;0;1)
Mặt phẳng (α) đi qua M(0; 1; 6) và nhận [→u,→k]=(2;−1;0) làm vectơ pháp tuyến nên (α) có phương trình là: 2x-y+1=0
Tương tự mp(β) có phương trình: x – y- 3 =0
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: {2x−y+1=0x−y−3=0 ⇔{x=−4y=−7z tùy ý
Hay phương trình tham số của đường thẳng là {x=−4y=−7z=t
