Cho mặt cầu (S) có phương trình x2+y2+z2−2x−4y−6z=0.
LG a
Tìm tọa độ tâm mặt cầu và bán kính mặt cầu.
Lời giải chi tiết:
Ta có x2+y2+z2−2x−4y−6z=0.
Có a=1,b=2,c=3, d=0 nên R=√1+4+9−0=√14
Mặt cầu có tâm I(1; 2; 3) và có bán kính R=√14.
Cách khác:
Phương trình: x2+y2+z2-2x-4y-6z=0
⇔ (x-1)2+(y-2)2+(z-3)2=14
Vậy mặt cầu (S) có tâm là I = (1; 2; 3), bán kính R = √14
LG b
Tùy theo giá trị k, xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) và mp(P): x+y−z+k=0.
Lời giải chi tiết:
Khoảng cách từ điểm I đến mp(P) là: d(I,(P))=|1+2−3+k|√12+12+12=|k|√3.
i) |k|√3<√14⇔|k|<√42:(P) cắt (S) theo một giao tuyến là một đường tròn.
ii) |k|√3=√14⇔|k|=√42:(P) tiếp xúc với (S).
iii) |k|√3>√14⇔|k|>√42:(P) không cắt (S).
LG c
Mặt cầu cắt ba trục Ox, Oy, Oz tại ba điểm A, B, C khác gốc tọa độ O. Viết phương trình mp(ABC).
Lời giải chi tiết:
(S) cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C (khác O) thì A(2; 0; 0) ; B(0; 4; 0) ; C(0; 0; 6).
Phương trình mặt phẳng (ABC): x2+y4+z6=1.
LG d
Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm B.
Lời giải chi tiết:
Mp(α) tiếp xúc với (S) tại B thì (α) qua B và có vectơ pháp tuyến →IB=(−1;2;−3).
Vậy (α):−(x−0)+2(y−4)−3(z−0)=0 ⇔x−2y+3z+8=0.
LG e
Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mặt phẳng (Q) có phương trình 4x+3y−12z−1=0.
Lời giải chi tiết:
Mp(Q’) // mp(Q) nên (Q’) có phương trình: 4x+3y−12z+D=0(D≠−1).
(Q’) tiếp xúc với (S)
⇔d(I;(Q′))=R⇔|4.1+3.2−12.3+D|√42+32+122=√14.⇔|D−26|13=√14⇔D=26±13√14.
Vậy có hai mặt phẳng cần tìm là: 4x+3y−12z+26±13√14=0.