LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y=x3+3x2−4
Lời giải chi tiết:
Tập xác đinh: D=R
Sự biến thiên:
y′=3x2+6xy′=0⇔[x=0x=−2
- Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;−2) và (0;+∞)
- Hàm số nghịch biến trên khoảng (−2;0)
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x=−2;yCĐ=0
Hàm số đạt cực tiểu tại x=0;yCT=−4
- Giới hạn:
lim
\eqalign{ & y'' = 6x + 6 \cr & y'' = 0 \Leftrightarrow x = - 1 \cr}
Điểm uốn I(-1;-2)
- Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Đồ thị hàm số nhận điiểm I(-1;-2) làm tâm đối xứng.
LG b
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn.
Phương pháp giải:
Công thức viết phương trình tiếp tuyến của ĐTHS tại điểm {M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right) là:
y - f\left( {{x_0}} \right) = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) hay y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)
Lời giải chi tiết:
y'(-1)=3.(-1)^2+6.(-1)=-3
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại I(-1;-2) là:
y=-3(x+1)+(-2) \Leftrightarrow y = - 3x - 5
LG c
Chứng minh rằng điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị.
Lời giải chi tiết:
Cách 1. Gọi I(-1; -2) là tọa độ điểm uốn.
Theo công thức đổi trục tọa độ theo véc tơ OI ta có: \left\{ \begin{array}{l}x = X - 1\\y = Y - 2\end{array} \right.
Phương trình của \left( C \right) trong hệ tọa độ IXY là:
\begin{array}{l}Y - 2 = {\left( {X - 1} \right)^3} + 3{\left( {X - 1} \right)^2} - 4\\ \Leftrightarrow Y - 2 = {X^3} - 3{X^2} + 3X + 1 + 3{X^2} - 6X + 3 - 4\\ \Leftrightarrow Y = {X^3} - 3X\end{array}
Hàm số Y = {X^3} - 3X là hàm số lẻ nên đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng
⇒ điều phải chứng minh
Cách 2:
Lấy điểm {M_1}\left( {{x_1};{y_1}} \right) bất kì thuộc \left( C \right).
Điểm {M_2}\left( {{x_2};{y_2}} \right) đối xứng với {M_1} qua I\left( { - 1; - 2} \right)
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2}\\ - 2 = \frac{{{y_1} + {y_2}}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = - 2 - {x_1}\\{y_2} = - 4 - {y_1}\end{array} \right. \Rightarrow {M_2}\left( { - 2 - {x_1}; - 4 - {y_1}} \right)
Ta kiểm tra M_2 có thuộc đồ thị hàm số đã cho hay không. Ta có:
\begin{array}{l}{\left( { - 2 - {x_1}} \right)^3} + 3{\left( { - 2 - {x_1}} \right)^2} - 4\\ = - 8 - 12{x_1} - 6x_1^2 - x_1^3 + 3\left( {4 + 4{x_1} + x_1^2} \right) - 4\\ = - 8 - 12{x_1} - 6x_1^2 - x_1^3 + 12 + 12{x_1} + 3x_1^2 - 4\\ = - 3x_1^2 - x_1^3 = 4 - \left( {x_1^3 + 3x_1^2 - 4} \right)\\ = 4 - {y_1}\end{array}
Do đó điểm {M_2}\left( { - 2 - {x_1}; - 4 - {y_1}} \right) cũng thuộc \left( C \right).
Vậy I\left( { - 1; - 2} \right) là tâm đối xứng của \left( C \right).
Cách 3:
Sử dụng lý thuyết: Đồ thị hàm số y=f(x) nhận I\left( {{x_0};{y_0}} \right) làm tâm đối xứng
\Leftrightarrow f(x0+x)+f(x0-x)=2y0 với ∀x
Áp dụng:
Đồ thị nhận I(-1; -2) là tâm đối xứng khi và chỉ khi:
⇔ f(-1+x)+f(-1-x)=-4 với ∀x
\eqalign{ & \Leftrightarrow {\left( { - 1 + x} \right)^3} + 3{\left( { - 1 + x} \right)^2} - 4 \cr&+ {\left( { - 1 - x} \right)^3} + 3{\left( { - 1 - x} \right)^2} - 4 = - 4 \cr & \Leftrightarrow - 1 + 3x - 3{x^2} + {x^3} + 3 - 6x + 3{x^2} - 4 \cr&- 1 - 3x - 3{x^2} - {x^3} + 3 + 6x + 3{x^2} - 4 = - 4 \cr & \Leftrightarrow - 4 = - 4\,\,\forall x \cr}
\Leftrightarrow I(-1;-2) là tâm đối xứng của đồ thị.
