LG a
Cho số phức z=x+yi. Khi z≠i, hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức z+iz−i
Phương pháp giải:
Thực hiện chia hai số phức a+bic+di=(a+bi)(c−di)c2+d2
Lời giải chi tiết:
Ta có:
z+iz−i=x+(y+1)ix+(y−1)i =[x+(y+1)i][x−(y−1)i]x2+(y−1)2 =x2+(xy+x)i−(xy−x)i−(y2−1)i2x2+(y−1)2 =x2+2xi+(y2−1)x2+(y−1)2 =x2+y2−1x2+(y−1)2+2xx2+(y−1)2i
Vậy phần thực là x2+y2−1x2+(y−1)2, phần ảo là 2xx2+(y−1)2.
LG b
Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z+iz−i là số thực dương.
Phương pháp giải:
Số phức z=a+bi là số thực dương nếu b=0 và a>0.
Lời giải chi tiết:
Với z≠i,
Theo câu a, z+iz−i =x2+y2−1x2+(y−1)2+2xx2+(y−1)2i
Nên để z+iz−i là số thực dương thì {2xx2+(y−1)2=0x2+y2−1x2+(y−1)2>0 ⇔{x=0x2+(y−1)2≠0x2+y2−1>0 ⇔{x=0(y−1)2≠0y2−1>0 ⇔{x=0y≠1[y>1y<−1 ⇔[x=0,y>1x=0,y<−1
Vậy quỹ tích điểm cần tìm là trục ảo bỏ đi đoạn thẳng IJ, trong đó I(0; 1); J(0; -1).
