Bài 27 Trang 167 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

117 lượt xem

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

LG a

Đồ thị hàm số $y = {\cos ^2}x,$ trục hoành, trục tung và đường thẳng $x = \pi ;$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính diện tích $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$

Lời giải chi tiết:

Vì ${\cos ^2}x \ge 0,\forall x$ nên:

$S = \int\limits_0^\pi {\left| {{{\cos }^2}x} \right|dx}$ $= \int\limits_0^\pi {{{\cos }^2}xdx }$ $= {1 \over 2} \int\limits_0^\pi {\left( {1 + \cos 2x} \right)} dx$ $= \left. {{1 \over 2}\left( {x + {1 \over 2}\sin 2x} \right)} \right|_0^\pi$ $= \frac{1}{2}\left( {\pi + \frac{1}{2}\sin 2\pi - 0 - \frac{1}{2}\sin 2.0} \right)$ $= \frac{1}{2}\left( {\pi + 0 - 0 - 0} \right)$ $= {\pi \over 2}$

LG b

Đồ thị hai hàm số $y = \sqrt x$ và $y = \root 3 \of x ;$

Phương pháp giải:

- Tìm hoành độ giao điểm.

- Sử dụng công thức tính diện tích $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)-g(x)} \right|dx}$

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là $\sqrt x = \root 3 \of x \Leftrightarrow x = 0;x = 1$
Trên đoạn $\left[ {0;1} \right]$ thì $\root 3 \of x \ge \sqrt x$ nên:

$S = \int\limits_0^1 {\left( {\root 3 \of x - \sqrt x } \right)} dx = \int\limits_0^1 {\left( {{x^{{1 \over 3}}} - {x^{{1 \over 2}}}} \right)} dx$ $= \left. {\frac{{{x^{\frac{4}{3}}}}}{{\frac{4}{3}}} - \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}}} \right|_9^1$ $= \left. {\left( {{3 \over 4}{x^{{4 \over 3}}} - {2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}}} \right)} \right|_0^1 = {3 \over 4} - {2 \over 3} = {1 \over {12}}$

LG c

Đồ thị hàm số $y = 2{x^2}$ và $y = {x^4} - 2{x^2}$ trong miền $x \ge 0.$

Phương pháp giải:

- Tìm hoành độ giao điểm.

- Sử dụng công thức tính diện tích $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)-g(x)} \right|dx}$

Lời giải chi tiết:

Trong miền $x \ge 0$ hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm phương trình:

$\left\{ \matrix{ x \ge 0 \hfill \cr {x^4} - 2{x^2} = 2{x^2} \hfill \cr} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge 0 \hfill \cr {x^2}\left( {{x^2} - 4} \right) = 0 \hfill \cr} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr x = 2 \hfill \cr} \right.$

Với $0 \le x \le 2$ thì $\left( {{x^4} - 2{x^2}} \right) - 2{x^2}$ $= {x^4} - 4{x^2}$ $= {x^2}\left( {{x^2} - 4} \right) \le 0$

$\Rightarrow \left| {{x^4} - 4{x^2}} \right| = 4{x^2} - {x^4}$

$\Rightarrow S = \int\limits_0^2 {\left| {\left( {{x^4} - 2{x^2}} \right) - 2{x^2}} \right|dx}$ $= \int\limits_0^2 {\left| {{x^4} - 4{x^2}} \right|dx}$ $= \int\limits_0^2 {\left( {4{x^2} - {x^4}} \right)dx}$ $= \left. {\left( {4.\dfrac{{{x^3}}}{3} - \dfrac{{{x^5}}}{5}} \right)} \right|_0^2$ $= 4.\dfrac{8}{3} - \dfrac{{32}}{5} = \dfrac{{64}}{{15}}$

SGK Toán 12 Nâng cao