Đề bài
Cho parabol (P):y=x2 và điểm A(−3;0). Xác định điểm M thuộc parabol (P) sao cho khoảng cách AM là ngắn nhất và tìm khoảng cách ngắn nhất đó.
Lời giải chi tiết
Gọi M(x;x2)
Ta có: AM2=(x+3)2+x4=x4+x2+6x+9
AM đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi f(x)=x4+x2+6x+9 đạt giá trị nhỏ nhất
Ta có: f′(x)=4x3+2x+6=2(x+1)(2x2−2x+3)
f′(x)=0⇔x=−1;f(−1)=5
f đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x=−1, giá trị nhỏ nhất là f(−1)=5.
AM đạt giá trị nhỏ nhất khi M ở vị trí M0(−1;1) khi đó AM0=√5
