Câu 1
Trong các mệnh đề sau, mệnh đều nào đúng?
A. Mọi hình hộp có mặt cầu ngoại tiếp.
B. Mọi hình hộp đứng có mặt cầu ngoại tiếp.
C. Mọi hình hộp có mặt bên vuông góc với đáy đều có mặt cầu ngoại tiếp.
D. Mọi hình hộp chữ nhật đều có mặt cầu ngoại tiếp.
Lời giải chi tiết:
Đáp án A, B, C: Sai vì hình hộp có đáy không nội tiếp đường tròn thì không có mặt cầu ngoại tiếp.
Đáp án D đúng vì hình chữ nhật có đường tròn ngoại tiếp.
Chọn (D).
Câu 2
Trong số các hình hộp nội tiếp một mặt cầu bán kính R thì
(A) Hình hộp có đáy là hình vuông có thể tích lớn nhất.
(B) Hình lập phương có thể tích lớn nhất.
(C) Hình hộp có kích thước tạo thành cấp số cộng công sai khác 0 có thể tích lớn nhất.
(D) Hình hộp có kích thước tạo thành cấp số nhân công bội khác 1 có thể tích lớn nhất.
Lời giải chi tiết:
Hình hộp nội tiếp một mặt cầu là hình hộp chữ nhật có đường chéo \(d = 2R\). Gọi \(x, y, z\) là các kích thước của hình hộp chữ nhật.
Ta có \({x^2} + {y^2} + {z^2} = {d^2} = 4{R^2}\)
Áp dụng BĐT Cô – si cho 3 số dương ta có:
\(4{R^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} \) \(\ge 3\root 3 \of {{x^2}{y^2}{z^2}} = 3\root 3 \of {{V^2}} \)
\(\Rightarrow {V^2} \le {\left( {{{4{R^2}} \over 3}} \right)^3}\)
\(V\) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(x = y = z\).
Chọn (B).
Câu 3
Một hình cầu có thể tích \({4 \over 3}\pi \) ngoại tiếp một hình lập phương. Trong các số sau đây, số nào là thể tích khối lập phương?
(A) \({{8\sqrt 3 } \over 9}\) (B) \({8 \over 3}\) (C) 1 (D) \(2\sqrt 3 \)
Lời giải chi tiết:
Giả sử bán kính mặt cầu là \(R\) và cạnh hình lập phương là a thì thể tích khối cầu là \(V = {4 \over 3}\pi {R^3} \Rightarrow R = 1\)
Mà \(R = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow 1 = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow a = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\)
Thể tích khối lập phương là \(V = {a^3} = {\left( {{2 \over {\sqrt 3 }}} \right)^3} = {8 \over {3\sqrt 3 }} = {{8\sqrt 3 } \over 9}\).
Chọn (A).
Câu 4
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
(A) Hình chóp có đáy là tứ giác thì có mặt cầu ngoại tiếp.
(B) Hình chóp có đáy là hình thang vuông thì có mặt cầu ngoại tiếp.
(C) Hình chóp có đáy là hình bình hành thì có mặt cầu ngoại tiếp.
(D) Hình chóp có đáy là hình thang cân thì có mặt cầu ngoại tiếp.
Lời giải chi tiết:
Hình chóp có đáy là tứ giác có mặt cầu ngoại tiếp thì đáy phải là tứ giác nội tiếp đường tròn.
Trong các hình trên chỉ có hình thang cân nội tiếp được nên D đúng.
Chọn (D).
Câu 5
Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\). Tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = 2{a^2}\)
(A) Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tam giác \(ABC\) và bán kính bằng \({{a\sqrt 2 } \over 2}\).
(B) Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tứ diện và bán kính bằng \({{a\sqrt 2 } \over 4}\).
(C) Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tứ diện và bán kính bằng \({{a\sqrt 2 } \over 2}\).
(D) Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tam giác \(ABC\) và bán kính bằng \({{a\sqrt 2 } \over 4}\).
Lời giải chi tiết:
Gọi \(G\) là trọng tâm tứ diện \(ABCD, AA’\) là đường cao xuất phát từ \(A\) của tứ diện \(ABCD\). Ta có:
\(\eqalign{
& AA' = \sqrt {A{B^2} - BA{'^2}} \cr&= \sqrt {{a^2} - {{{a^2}} \over 3}} = {{a\sqrt 6 } \over 3} \cr
& \Rightarrow GA = GB = GC = GD = {3 \over 4}AA' \cr&= {{a\sqrt 6 } \over 4} \cr} \)
Ta có: \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = 2{a^2}\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow {GA} - \overrightarrow {GM} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GM} } \right)^2} \cr&+ {\left( {\overrightarrow {GC} - \overrightarrow {GM} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {GD} - \overrightarrow {GM} } \right)^2} \cr&= 2{a^2} \cr
& \Leftrightarrow 4G{A^2} + 4G{M^2}\cr& - 2\overrightarrow {GM} \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} } \right) \cr&= 2{a^2} \cr
& \Leftrightarrow M{G^2} = {{{a^2}} \over 2} - G{A^2} = {{{a^2}} \over 8}\cr& \Rightarrow MG = {{a\sqrt 2 } \over 4} \cr} \)
Tập hợp các điểm \(M\) là mặt cầu tâm \(G\) bán kính \({{a\sqrt 2 } \over 4}\) . Chọn (B).
Câu 6
Bán kính mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của tứ diện đều \(ABCD\) cạnh bằng \(a\) là:
(A) \({{a\sqrt 2 } \over 2}\) (B) \({{a\sqrt 2 } \over 4}\) (C) \(a\sqrt 2 \) (D) \(2a\sqrt 2 \)
Lời giải chi tiết:
Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm hai cạnh \(AB\) và \(CD\) của tứ diện đều \(ABCD\).
\(I\) là trung điểm của \(MN\) thì \(I\) cách đều \(6\) cạnh tứ diện nên \(I\) là tâm mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của tứ diện đều.
Bán kính mặt cầu: \(R = {{MN} \over 2}\)
Ta có: \(M{N^2} = A{N^2} - M{A^2} \) \(= A{D^2} - N{D^2} - M{A^2}\) \( = {a^2} - {{{a^2}} \over 4} - {{{a^2}} \over 4} = {{{a^2}} \over 2} \)
\(\Rightarrow MN = {{a\sqrt 2 } \over 2} \Rightarrow R = {{a\sqrt 2 } \over 4}\).
Chọn (B).
Câu 7
Trong số các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
(A) Có duy nhất một măt cầu đi qua hai đường tròn nằm trong hai mặt phẳng cắt nhau.
(B) Có duy nhất một măt cầu đi qua hai đường tròn nằm trong hai mặt phẳng song song.
(C) Có duy nhất một măt cầu đi qua hai đường tròn cắt nhau.
(D) Có duy nhất một măt cầu đi qua hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt và không cùng nằm trong một mặt phẳng.
Lời giải chi tiết:
Xem bài 3a. phần bài tập ôn tập chương II
Chọn D.
Câu 8
Cho hai điểm \(A, B\) phân biệt. Tập hợp các điểm \(M\) sao cho diện tích tam giác \(MAB\) không đổi là:
(A) Hai đường thẳng song song; (B) Một mặt cầu;
(C) Một mặt trụ; (D) Một mặt nón.
Lời giải chi tiết:
Gọi khoảng cách từ M đến AB là d(M, AB)
Ta có diện tích tam giác MAB là
\(S = \frac{1}{2}d\left( {M,AB} \right).AB\) \( \Rightarrow d\left( {M,AB} \right) = \frac{{2S}}{{AB}}\)
Suy ra M thuộc mặt trụ T trục AB bán kính R = 2S/AB.
Chọn C
Câu 9
Cho hai điểm phân biệt \(A, B\) cố định và phân biệt. Một đường thẳng \(l\) thay đổi luôn đi qua \(A\) và cách \(B\) một khoảng \({{AB} \over 2}\). Gọi \(H\) là hình chiếu của \(B\) trên \(l\). Tập hợp điểm \(H\) là:
(A) Một mặt phẳng; (B) Một mặt trụ;
(C) Một mặt nón; (D) Một đường tròn.
Lời giải chi tiết:
\(\sin \widehat {HAB} = {{BH} \over {AB}} = {1 \over 2} \Rightarrow \widehat {HAB} = {30^0}\)
Tập hợp \(l\) là mặt nón có trục AB, đường sinh \(l\), góc ở đỉnh là \({60^0}\).
Gọi \(I\) là hình chiếu của H lên AB.
Ta có: \(BI = BH.\cos{60^0} = {{AB} \over 4} \Rightarrow I\) cố định.
Lại có \(IH = BH\sin {60^0}\) \( = \frac{{AB}}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{AB\sqrt 3 }}{4}\)
Do đó H luôn cách I một khoảng bằng \(\frac{{AB\sqrt 3 }}{4}\) không đổi.
Vậy tập hợp điểm H là đường tròn tâm I bán kính \(\frac{{AB\sqrt 3 }}{4}\)
Chọn (D).
Câu 10
Với điểm \(O\) cố định thuộc mặt phẳng \((P)\) cho trước, xét đường thẳng \(l\) thay đổi đi qua \(O\) và tạo với \((P)\) góc \(30^0\) Tập hợp các đường thẳng \(l\) trong không gian là:
(A) Một mặt phẳng;
(B) Hai đường thẳng;
(C) Một mặt trụ;
(D) Một mặt nón.
Lời giải chi tiết:
Qua O kẻ đường thẳng Δ ⊥ (P) thì góc giữa Δ và l bằng β=90o-30o=60o
Vậy đường thẳng l luôn tạo với Δ một góc không đổi và đi qua điểm O cố định trên (P) nên l thuộc mặt nón (H) trục Δ đỉnh O và góc ở đỉnh bằng = 120o.
Chọn D
Câu 11
Một hình trụ có bán kính đáy bằng \(a\), đường cao \({\rm{OO}}' = a\sqrt 3 \). Một đoạn thẳng \(AB\) thay đổi sao cho góc giữa \(AB\) và trục hình trụ bằng \(30^0\). \(A, B\) thuộc hai đường tròn đáy của hình trụ. Tập hợp các trung điểm \(I\) của \(AB\) là:
(A) Một mặt trụ; (B) Một mặt cầu;
(C) Một đường tròn; (D) Một mặt phẳng.
Lời giải chi tiết:
Gọi \(A’\) là hình chiếu của \(A\) xuống mặt phẳng đáy thì \(AA’ = OO’\). Gọi \(I, M, N\) lần lượt là trung điểm của \(OO’, AB\) và \(AA’\).
Ta có: \(IA = IB\) và \(IM \bot AB\).
Mp(IMN) qua \(I\) và song song với hai mặt phẳng đáy.
Ta có: \(MN = AN.\tan {30^0} = {{a\sqrt 3 } \over 2}.{1 \over {\sqrt 3 }} = {a \over 2}\)
\( \Rightarrow MI = \sqrt {N{I^2} - M{N^2}} \) \( = \sqrt {{a^2} - {{{a^2}} \over 4}} = {{a\sqrt 3 } \over 2}\)
Vậy tập hợp trung điểm \(M\) của \(AB\) là đường tròn tâm \(I\) bán kính \({{a\sqrt 3 } \over 2}\) nằm trong mp\((IMN)\).
Chọn (C).
Câu 12
Trong mặt phẳng (P) cho góc xOy. Một mặt phẳng (Q) thay đổi và vuông góc với đường phân giác trong của góc xOy, cắt Ox, Oy tại A, B. Trong (Q) lấy điểm M sao cho \(\widehat {AMB} = {90^0}\). Khi ấy, tập hợp điểm M là:
(A) Một đường tròn; (B) Một mặt trụ;
(C) Một mặt nón; (D) Một mặt cầu.
Lời giải chi tiết:
Gọi Oz là tia phân giác của góc xOy, I là trung điểm AB và \(\alpha = \widehat {xOy}\)
\(\widehat {AMB} = {90^0} \Rightarrow \Delta AMB\) vuông tại M nên \(MI = \frac{{AB}}{2}\) (trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)
Ta có: \(Oz \bot \left( Q \right) \Rightarrow Oz \bot MI\) \( \Rightarrow \widehat {MIO} = {90^0}\)
Xét hai tam giác vuông MOI và BOI có
\(\widehat {MIO} = \widehat {BIO} = {90^0}\)
\(MI = BI = \frac{{AB}}{2}\)
Chung OI
Suy ra ΔMOI=ΔBOI (hai cạnh góc vuông)
\( \Rightarrow \widehat {MOI} = \widehat {BOI} \Rightarrow \widehat {MOz} = \widehat {yOz} = \frac{\alpha }{2}\)
Vậy M thuộc mặt nón (H) trục Oz, đỉnh O góc đỉnh α.
Chọn C
Câu 13
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a. Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay sinh bởi đường gấp khúc AC’A’ khi quay quanh AA’ bằng:
(A) \(\pi {a^2}\sqrt 6 \) (B) \(\pi {a^2}\sqrt 3 \)
(C) \(\pi {a^2}\sqrt 2 \) (D) \(\pi {a^2}\sqrt 5 \)
Lời giải chi tiết:
Hình nón tròn xoay sinh bởi đường gấp khúc AC’A’ khi quay quanh \(AA' \) có bán kính đáy \(r=A'C'=a\sqrt 2\) và độ dài đường sinh \(l=AC' = a\sqrt 3 \) nên diện tích xung quanh của hình nón là: \({S_{xq}} = \pi rl=\pi a\sqrt 2 .a\sqrt 3 = \pi {a^2}\sqrt 6 \)
Chọn (A).
Câu 14
Cho hình nón có bán kính đáy bằng a. Một dây cung thay đổi của đường tròn đáy có độ dài không đổi bằng a. Tập hợp các trung điểm của đoạn thẳng nối đỉnh hình nón với trung điểm của dây cung đó là:
(A) Một mặt nón cố định; (B) Một mặt phẳng cố định;
(C) Một mặt trụ cố định; (D) Một đường tròn cố định.
Lời giải chi tiết:
Gọi I là trung điểm AB ta có \(OI = \sqrt {O{B^2} - I{B^2}} \) \(= \sqrt {{a^2} - {{{a^2}} \over 4}} = {{a\sqrt 3 } \over 2}\)
Tập hợp I là đường tròn tâm O bán kính \({{a\sqrt 3 } \over 2}\) trong mặt phẳng đáy hình nón.
Gọi O’ là trung điểm SO và M là trung điểm của SI thì \(MO' = {1 \over 2}OI = {{a\sqrt 3 } \over 4}\)
Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O’ bán kính \({{a\sqrt 3 } \over 4}\) nằm trong mặt phẳng qua O’ và song song với mặt phẳng đáy.
Chọn (D).
Câu 15
Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R, chiều cao OO’. Cắt hình trụ đó bằng \(mp\left( \alpha \right)\) vuông góc với đáy và cách điểm O một khoảng bằng h cho trước (h<R). Khi ấy, \(mp\left( \alpha \right)\) có tính chất:
(A) Luôn tiếp xúc với một mặt trụ cố định;
(B) Luôn cách một mặt phẳng cho trước qua trục hình trụ một khoáng h ;
(C) Cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông ;
(D) Cả ba tính chất trên đều sai.
Lời giải chi tiết:
\(mp\left( \alpha \right)\) luôn tiếp xúc với một mặt trụ cố định đường cao OO’ bán kính đáy h.
Chọn (A).
Câu 16
Một khối trụ có bán kính đáy \(a\sqrt 3 \), chiều cao \(2a\sqrt 3 \). Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối trụ là:
(A) \(8\sqrt 6 \pi {a^3}\) (B) \(6\sqrt 6 \pi {a^3}\)
(C) \({4 \over 3}\sqrt 6 \pi {a^3}\) (D) \(4\sqrt 3 \pi {a^3}\)
Lời giải chi tiết:
Bán kính mặt cầu là:
\(R = \sqrt {{{\left( {\frac{h}{2}} \right)}^2} + {r^2}} \) \( = \sqrt {{{\left( {\frac{{2a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}} = a\sqrt 6 \)
Thể tích khối cầu \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\) \( = \frac{4}{3}\pi {\left( {a\sqrt 6 } \right)^3} = 8\pi {a^3}\sqrt 6 \)
Chọn (A).
Câu 17
Cho hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy và bằng 2. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón đó là
(A) \(\sqrt 3 \) (B) \(2\sqrt 3 \) (C) \({{\sqrt 3 } \over 2}\) (D) \({{2\sqrt 3 } \over 3}\)
Lời giải chi tiết:
Gọi AB là đường kính của mặt cầu ngoại tiếp hình nón, I là tâm đường tròn đáy của hình nón \(AI = \sqrt {A{C^2} - C{I^2}} = \sqrt 3 \)
\(\Delta ABC\) vuông tại C nên \(A{C^2} = AI.AB\) \( \Rightarrow AB = {{A{C^2}} \over {AI}} = {4 \over {\sqrt 3 }} = {{4\sqrt 3 } \over 3}\)
\( \Rightarrow R = {{AB} \over 2} = {{2\sqrt 3 } \over 3}\).
Chọn (D).
Câu 18
Cho hình nón sinh bởi một tam giác đều cạnh a khi quay quanh một đường cao. Một mặt cầu có diện tích bằng diện tích toàn phần của hình nón thì có bán kính là
(A) \({{a\sqrt 3 } \over 4}\) (B) \({{a\sqrt 2 } \over 4}\)
(C) \({{a\sqrt 2 } \over 2}\) (D) \({{a\sqrt 3 } \over 2}\)
Lời giải chi tiết:
Khi quay tam giác đều cạnh a quanh đường cao ta được hình nón có bán kính đáy \(r = \frac{{BC}}{2} = \frac{a}{2}\) và đường sinh \(l = AB = a\)
Diện tích toàn phần của hình nón là \({S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_d} = \pi rl + \pi {r^2}\) \( = \pi {{{a^2}} \over 2} + \pi {{{a^2}} \over 4} = \pi {a^2}{3 \over 4}\)
Diện tích mặt cầu bán kính R là \(4\pi {R^2}\).
Suy ra \(4\pi {R^2} = \pi {a^2}{3 \over 4} \Rightarrow R = {{a\sqrt 3 } \over 4}\).
Chọn (A).
Câu 19
Cho một hình nón sinh bởi một tam giác đều cạnh a khi quay quanh một đường cao. Một khối cầu có thể tích bằng thể tích của khối nón thì có bán kính bằng
(A) \({{a\root 3 \of {2\sqrt 3 } } \over 4}\) (B) \({{a\root 3 \of 3 } \over 8}\)
(C) \({{a\root 3 \of {2\sqrt 3 } } \over 8}\) (D) \({{a\root 3 \of {2\sqrt 3 } } \over 2}\)
Lời giải chi tiết:
Khi quay tam giác đều cạnh a quanh đường cao ta được hình nón có bán kính đáy \(r = \frac{{BC}}{2} = \frac{a}{2}\) và đường sinh \(l = AB = a\)
Chiều cao của khối nón là \(AH={{a\sqrt 3 } \over 2}\) nên
\({V_n} = {1 \over 3}\pi {r^2}h = {1 \over 3}\pi {{{a^2}} \over 4}.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{\pi {a^3}\sqrt 3 } \over {24}}\)
Thể tích khối cầu bán kính R là \({V_c} = {4 \over 3}\pi {R^3}\).
Do đó \({{\pi {a^3}\sqrt 3 } \over {24}} = {4 \over 3}\pi {R^3} \Leftrightarrow {R^3} = {{{a^3}\sqrt 3 } \over {32}} \)
\(\Rightarrow R = {{a\root 3 \of {\sqrt 3 } } \over {\root 3 \of {32} }} = {{a\root 3 \of {2\sqrt 3 } } \over 4}\)
Chọn (A).
Câu 20
Một hình nón có đường sinh bằng a và góc ở đỉnh bằng \(90^0\). Cắt hình nón bằng mặt phẳng (α) đi qua đỉnh sao cho góc giữa (α) và mặt đáy hình nón bằng \(60^0\) . Khi đó diện tích thiết diện là
(A) \({{\sqrt 2 } \over 3}{a^2}\) (B) \({{\sqrt 3 } \over 2}{a^2}\)
(C) \({2 \over 3}{a^2}\) (D) \({3 \over 2}{a^2}\)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{
& OS = {1 \over 2}AB = {{a\sqrt 2 } \over 2} \cr
& SI = {{SO} \over {\sin {{60}^0}}} = {{a\sqrt 2 } \over {\sqrt 3 }} \cr
& OI = SO.\cot {60^0} = {{a\sqrt 2 } \over {2\sqrt 3 }} \cr
& \Rightarrow IC = \sqrt {O{C^2} - I{O^2}} \cr&= \sqrt {{{{a^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 6}} = {a \over {\sqrt 3 }} \cr
& S = {1 \over 2}SI.2IC \cr&= {{a\sqrt 2 } \over {\sqrt 3 }}.{a \over {\sqrt 3 }} = {{\sqrt 2 } \over 3}{a^2} \cr} \)
Chọn (A).
Câu 21
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với mặt đáy góc \(60^0\). Diện tích toàn phần của hình nón ngoại tiếp hình chóp là
(A) \({{3\pi {a^2}} \over 2}\) (B) \({{3\pi {a^2}} \over 4}\)
(C) \({{3\pi {a^2}} \over 6}\) (D) \({{3\pi {a^2}} \over 8}\)
Lời giải chi tiết:
Bán kính đường tròn đáy của hình nón ngoại tiếp hình chóp là
\(\eqalign{
& R = {{a\sqrt 2 } \over 2} \cr
& \cos {60^0} = {{BO} \over {SB}} \cr
& \Rightarrow SB = {{BO} \over {\cos {{60}^0}}} = 2{{a\sqrt 2 } \over 2} = a\sqrt 2 \cr} \)
Diện tích xung quanh hình nón \({S_{xq}} = {1 \over 2}.2\pi Rl \) \(= \pi {{a\sqrt 2 } \over 2}a\sqrt 2 = \pi {a^2}\)
Diện tích hình tròn đáy hình nón là \({S_d} = \pi {R^2} = \pi {{{a^2}} \over 2}\)
Diện tích toàn phần \({S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_d} = \pi {a^2} + {{\pi {a^2}} \over 2} = {{3\pi {a^2}} \over 2}\)
Chọn (A).
Câu 22
Cho mặt cầu bán kính R và một hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao 2R. Tỉ số thể tích khối cầu và khối trụ là
(A) \({2 \over 3}\) (B) \({3 \over 2}\) (C) 2 (D) \({1 \over 2}\)
Lời giải chi tiết:
Thể tích khối cầu bán kính R là \({V_c} = {4 \over 3}\pi {R^3}\)
Thể tích khối trụ \({V_t} = \pi {R^2}.2R = 2\pi {R^3} \Rightarrow {{{V_c}} \over {{V_t}}} = {2 \over 3}\).
Chọn (A).
Câu 23
Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R, chiều cao cũng bằng R. Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy, mp(ABCD) không vuông góc với mặt phẳng đáy của hình trụ. Diện tích hình vuông đó là
(A) \({{5{R^2}} \over 2}\) (B) \(5{R^2}\)
(C) \({{5{R^2}\sqrt 2 } \over 2}\) (D) \(5{R^2}\sqrt 2 \)
Lời giải chi tiết:
Gọi C’ là hình chiếu của C trên đáy hình trụ.
Vì \(AB \bot BC\) và \(AB \bot CC'\) nên \(AB \bot \left( {BCC'} \right)\)
Do đó \(AB \bot BC'\)
Do đó AC’ là kính của đường tròn đáy nên AC’=2R.
Ta có:
\(\begin{array}{l}BC{'^2} = AC{'^2} - A{B^2} = 4{R^2} - A{B^2}\\BC{'^2} = B{C^2} - CC{'^2} = A{B^2} - {R^2}\\ \Rightarrow 4{R^2} - A{B^2} = A{B^2} - {R^2}\\ \Leftrightarrow 5{R^2} = 2A{B^2}\\ \Leftrightarrow A{B^2} = \frac{{5{R^2}}}{2}\\ \Rightarrow {S_{ABCD}} = A{B^2} = \frac{{5{R^2}}}{2}\end{array}\)
Chọn (A).
Câu 24
Một khối hộp chữ nhật nội tiếp trong một khối trụ. Ba kích thước của khối hộp chữ nhật là a, b, c.. Thể tích của khối trụ là
(A) \({1 \over 4}\pi \left( {{a^2} + {b^2}} \right)c\)
(B) \({1 \over 4}\pi \left( {{b^2} + {c^2}} \right)a\)
(C) \({1 \over 4}\pi \left( {{c^2} + {a^2}} \right)b\)
(D) \({1 \over 4}\pi \left( {{a^2} + {b^2}} \right)c\) hoặc \({1 \over 4}\pi \left( {{b^2} + {c^2}} \right)a\) hoặc \({1 \over 4}\pi \left( {{c^2} + {a^2}} \right)b\)
Lời giải chi tiết:
+) Nếu khối trụ có chiều cao c thì bán kính đáy \(R = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
Thể tích là \(V = \pi {R^2}h\) \( = \pi .{\left( {\frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right)^2}.c\) \( = \frac{1}{4}\pi \left( {{a^2} + {b^2}} \right)c\)
+) Nếu khối trụ có chiều cao b thì bán kính đáy \(R = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {c^2}} \)
Thể tích là \(V = \pi {R^2}h\) \( = \pi .{\left( {\frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {c^2}} } \right)^2}.b\) \( = \frac{1}{4}\pi \left( {{a^2} + {c^2}} \right)b\)
+) Nếu khối trụ có chiều cao a thì bán kính đáy \(R = \frac{1}{2}\sqrt {{b^2} + {c^2}} \)
Thể tích là \(V = \pi {R^2}h\) \( = \pi .{\left( {\frac{1}{2}\sqrt {{b^2} + {c^2}} } \right)^2}.a\) \( = \frac{1}{4}\pi \left( {{b^2} + {c^2}} \right)a\)
Chọn (D).
Câu 25
Một khối tứ diện đều có cạnh a nội tiếp một khối nón. Thể tích khối nón là
(A) \({{\sqrt 3 } \over {27}}\pi {a^3}\) (B) \({{\sqrt 6 } \over {27}}\pi {a^3}\)
(C) \({{\sqrt 3 } \over 9}\pi {a^3}\) (D) \({{\sqrt 6 } \over 9}\pi {a^3}\)
Lời giải chi tiết:
Tam giác ABC đều cạnh a nên \(AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) \( \Rightarrow AO = \frac{2}{3}AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Tam giác SOA vuông tại O nên \(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} \) \( = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)
Khối nón có bán kính đáy \(R = AO = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) và chiều cao \(h = SO = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)
Thể tích \(V = {1 \over 3}\pi {{{a^2}} \over 3}.{{a\sqrt 6 } \over 3} = {{\sqrt 6 } \over {27}}\pi {a^3}\).
Chọn (B).
Câu 26
Cho hình nón đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O, góc ở đỉnh bằng \(120^0\). Trên đường tròn đáy, lấy một điểm A cố định và điểm M di động. Có bao nhiêu vị trí của M để diện tích tam giác SAM đạt giá trị lớn nhất ?
(A) Có 1 vị trí ; (B) Có 2 vị trí ;
(C) Có 3 vị trí ; (D) Có vô số vị trí.
Lời giải chi tiết:
Gọi \(l\) là độ dài đường sinh của hình nón ta có \(SA = SM = l\).
Ta có: \({S_{\Delta SAM}} = {1 \over 2}SA.SM.\sin \widehat {ASM}\)
\(= {1 \over 2}{l^2}\sin \widehat {ASM} \le \frac{1}{2}{l^2} = const\)
Để diện tích tam giác SAM lớn nhất thì \(\sin \widehat {ASM} = 1 \Rightarrow \widehat {ASM} = {90^0}\).
Vì góc ở đỉnh bằng \({120^0}\) nên có 2 vị trí thỏa mãn \(\widehat {ASM} = {90^0}\).
Chọn (B).
