Đề bài
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, hàm số: y=x2−m(m+1)x+m3+1x−m luôn có cực đại và cực tiểu.
Lời giải chi tiết
TXĐ: D=R∖{m}
Với mọi giá trị của m, hàm số đạt cực đại tại điểm x=m−1 và đạt cực tiểu tại điểm x=m+1
Chú ý:
Ta có thể viết lại hàm số f(x) để tính đạo hàm cho đơn giản như sau:
y=x2−m(m+1)x+m3+1x−m=x2−m2x−mx+m3+1x−m=(x2−mx)−(m2x−m3)+1x−m=x(x−m)−m2(x−m)+1x−m=x(x−m)x−m−m2(x−m)x−m+1x−m=x−m2+1x−my′=(x−m2+1x−m)′=1−0−1(x−m)2=1−1(x−m)2y′=0⇔1−1(x−m)2=0⇔1=1(x−m)2⇔(x−m)2=1⇔[x−m=1x−m=−1⇔[x=m+1x=m−1
