Đề bài
Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng \({d_1}\) và cắt cả hai đường thẳng \({d_2}\) và \({d_3}\), biết phương trình của \({d_1},{d_2}\) và \({d_3}\) là:
\({d_1}:\left\{ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
y = {- 2 + 4t} \hfill \cr
z ={ 1 - t} \hfill \cr} \right.\)
\( {d_2}:{{x - 1} \over 1} = {{y + 2} \over 4} = {{z - 2} \over 3}\)
\( {d_3}:\left\{ \matrix{
x ={ - 4 + 5t'} \hfill \cr
y = {- 7 + 9t'} \hfill \cr
z = {t'} \hfill \cr} \right.\)
Lời giải chi tiết
Đường thẳng \({d_1}\) có vectơ chỉ phương \({\overrightarrow u _1} = \left( {0;4; - 1} \right)\), \({d_2}\) có phương trình tham số là
\(\left\{ \matrix{
x = 1 + t \hfill \cr
y = - 2 + 4t \hfill \cr
z = 2 + 3t \hfill \cr} \right.\)
Lấy điểm \({M_2}\left( {1 + t; - 2 + 4t;2 + 3t} \right)\) trên \({d_2}\) và \({M_3}\left( { - 4 + 5t'; - 7 + 9t';t'} \right)\) trên \({d_3}\). Ta tìm t và t’ để \(\overrightarrow {{M_2}{M_3}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_1}} \).
Ta có \(\overrightarrow {{M_2}{M_3}} = \left( { - 5 + 5t' - t; - 5 + 9t' - 4t; - 2 + t' - 3t} \right)\), \(\overrightarrow {{M_2}{M_3}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_1}} \) khi và chỉ khi
\(\left\{ \matrix{
- 5 + 5t' - t = 0 \hfill \cr
{{ - 5 + 9t' - 4t} \over 4} = {{ - 2 + t' - 3t} \over { - 1}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
t = 0 \hfill \cr
t' = 1 \hfill \cr} \right.\)
Khi đó \({M_2}\left( {1; - 2;2} \right)\) và \(\overrightarrow {{M_2}{M_3}} = \left( {0;4; - 1} \right)\).
Vậy \(\Delta \) qua \({M_2},{M_3}\) có phương trình:
\(\left\{ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
y = - 2 + 4t \hfill \cr
z = 2 - t \hfill \cr} \right.\).
Rõ ràng \({M_2} \notin {d_1}\).
Vậy \(\Delta \) chính là đường thẳng cần tìm.
Cách khác:
Gọi Δ là đường cần tìm, thì Δ=(P)∩(Q);
Trong đó (P) là mặt phẳng chứa d2 và (P) // d1
(Q) là mặt phẳng chứa d3 và (Q) // d1
d1,d2,d3 lần lượt có các vectơ chỉ phương là: \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {0;4; - 1} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;4;3} \right),\) \(\overrightarrow {{u_3}} = \left( {5;9;1} \right)\)
Ta viết được phương trình mp(P) là: 16x-y-4z-10=0
Phương trình mp(Q) là: 13x-5y-20z+17=0
Vậy phương trình của Δ là: \(\left\{ \begin{array}{l}16x - y - 4z - 10 = 0\\13x - 5y - 20z + 17 = 0\end{array} \right.\)
hay Δ có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 2 + 4t\\z = 2 - t\end{array} \right.\)
