Đề bài
Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d1 và cắt cả hai đường thẳng d2 và d3, biết phương trình của d1,d2 và d3 là:
d1:{x=1y=−2+4tz=1−t
d2:x−11=y+24=z−23
d3:{x=−4+5t′y=−7+9t′z=t′
Lời giải chi tiết
Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương →u1=(0;4;−1), d2 có phương trình tham số là
{x=1+ty=−2+4tz=2+3t
Lấy điểm M2(1+t;−2+4t;2+3t) trên d2 và M3(−4+5t′;−7+9t′;t′) trên d3. Ta tìm t và t’ để →M2M3 cùng phương với →u1.
Ta có →M2M3=(−5+5t′−t;−5+9t′−4t;−2+t′−3t), →M2M3 cùng phương với →u1 khi và chỉ khi
{−5+5t′−t=0−5+9t′−4t4=−2+t′−3t−1⇔{t=0t′=1
Khi đó M2(1;−2;2) và →M2M3=(0;4;−1).
Vậy Δ qua M2,M3 có phương trình:
{x=1y=−2+4tz=2−t.
Rõ ràng M2∉d1.
Vậy Δ chính là đường thẳng cần tìm.
Cách khác:
Gọi Δ là đường cần tìm, thì Δ=(P)∩(Q);
Trong đó (P) là mặt phẳng chứa d2 và (P) // d1
(Q) là mặt phẳng chứa d3 và (Q) // d1
d1,d2,d3 lần lượt có các vectơ chỉ phương là: →u1=(0;4;−1),→u2=(1;4;3), →u3=(5;9;1)
Ta viết được phương trình mp(P) là: 16x-y-4z-10=0
Phương trình mp(Q) là: 13x-5y-20z+17=0
Vậy phương trình của Δ là: {16x−y−4z−10=013x−5y−20z+17=0
hay Δ có phương trình tham số là: {x=1y=−2+4tz=2−t
