Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
LG a
Đồ thị các hàm số y=x,y=1 và y=x24 trong miền x≥0,y≤1.
Phương pháp giải:
Dựng hình, tính diện tích miền cần tính và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Diện tích hình thang OABC là:
S1=(2+1)12=32
Diện tích tam giác cong OBC là hình phẳng giới hạn bởi: y=0,x=2,y=x24 là:
S2=2∫0x24dx=x312|20=23
Diện tích cần tìm là S=S1−S2=32−23=56.
Cách 2:
Diện tích hình phẳng cần tìm chính là tổng diện tích tam giác cong OAD và tam giác cong ADB.
Diện tích tam giác cong OAD là:
SOAD=1∫0(x−x24)dx =(x22−x312)|10=512−0=512
Diện tích tam giác cong ADB là:
SADB=2∫1(1−x24)dx =(x−x312)|21=43−1112=512
Vật diện tích hình phẳng cần tìm là:
512+512=56
Cách 3.
Ta có: y=x24⇔x2=4y ⇔x=2√y (do ta chỉ xét miền x≥0)
Gọi hình phẳng đã cho là hình phẳng giới hạn bởi đường cong có phương trình x=2 √y, đường thẳng x = y và y = 0 và đường thẳng y = 1. Diện tích cần tìm là:
S=1∫0(2√y−y)dy =(2.y3232−y22)|10 =(43y√y−y22)|10=56−0=56
LG b
Đồ thị hai hàm số y=x4−4x2+4,y=x2, trục tung và đường thẳng x=1
Phương pháp giải:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y=f(x),y=g(x), x=a,x=b.
+) B1: Tìm nghiệm a≤x1<x2<...<xn≤b của phương trình hoành độ giao điểm f(x)=g(x).
+) B2: Tính diện tích theo công thức:
S=b∫a|f(x)−g(x)|dx
=x1∫a|f(x)−g(x)|dx +x2∫x1|f(x)−g(x)|dx +...+xn∫xn−1|f(x)−g(x)|dx +b∫xn|f(x)−g(x)|dx
=|x1∫a[f(x)−g(x)]dx|+|x2∫x1[f(x)−g(x)]dx| +...+|xn∫xn−1[f(x)−g(x)]dx| +|b∫xn[f(x)−g(x)]dx|
Lời giải chi tiết:
Cách 1:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:
x4−4x2+4=x2⇔[x2=1x2=4 ⇔[x=±1x=±2
Ta có: −2<−1<0<1<2 nên
S=1∫0|x4−4x2+4−x2|dx =1∫0|x4−5x2+4|dx =|1∫0(x4−5x2+4)dx| =|(x55−5x33+4x)|10| =|3815|=3815
Cách 2:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:
x4−4x2+4=x2⇔[x2=1x2=4 ⇔[x=±1x=±2
Ta có:
S=1∫0|x4−4x2+4−x2|dx=1∫0|x4−5x2+4|dx=1∫0(x4−5x2+4)dx=(x55−5x33+4x)|10=3815
LG c
Đồ thị các hàm số y=x2,y=4x−4 và y = -4x – 4.
Phương pháp giải:
Dựng hình suy ra các công thức tính diện tích.
Lời giải chi tiết:
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = {x^2} và đường thẳng y = 4x – 4 là:
\eqalign{ & {x^2} = 4x - 4 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 = 0 \cr & \Leftrightarrow {(x - 2)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 2. \cr}
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = {x^2} và đường thẳng
y = -4x – 4 là:
\eqalign{ & {x^2} = - 4x - 4 \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 = 0 \cr & \Leftrightarrow {(x + 2)^2} = 0 \Leftrightarrow x = - 2. \cr}
\eqalign{ & S = \int\limits_{ - 2}^0 {\left| {{x^2} - \left( { - 4x - 4} \right)} \right|dx} \cr &+ \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - \left( {4x - 4} \right)} \right|dx}\cr & = \int\limits_{ - 2}^0 {({x^2} + 4x + 4)} dx \cr &+ \int\limits_0^2 {({x^2} - 4x + 4)} dx \cr & = \left. {\left( {{{{x^3}} \over 3} + 2{x^2} + 4x} \right)} \right|_{ - 2}^0 \cr &+ \left. {\left( {{{{x^3}} \over 3} - 2{x^2} + 4x} \right)} \right|_0^2 \cr &= {8 \over 3} + {8 \over 3} = {{16} \over 3} \cr}
Cách khác:
Do tính đối xứng qua Oy của parabol y=x2 nên diện tích hình phẳng cần tìm bằng 2 lần diện tích tam giác cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = {x^2}, trục tung, đường thẳng y = 4x - 4. Khi đó,
S = 2\int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)dx} = 2\left. {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} + 4x} \right)} \right|_0^2 = 2\left( {\dfrac{8}{3} - 0} \right) = \dfrac{{16}}{3}
