Câu 1. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi B’, C’, D’ lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC và AD.
LG a
Chứng minh rằng 6 điểm B, C, D, B’, C’, D’ nằm trên một mặt cầu. Tìm bán kính của mặt cầu đó.
Lời giải chi tiết:
Câu 1.
Ta có: B′C′=C′D′=D′B′=a2⇒ΔB′C′D′ là tam giác đều cạnh a2.
Và AB′=AC′=AD′=a2⇒ AB’C’D’ là tứ diện đều cạnh a2.
Gọi O và O’ lần lượt là tâm các tam giác đều BCD và B’C’D’.
Vì từ diện ABCD đều nên AO⊥(BCD).
Vì từ diện AB’C’D’ đều nên AO′⊥(B′C′D′).
Mà (BCD) // (B’C’D’)
Gọi E là trung điểm của CD. Dễ thấy tam giác EAB cân tại E nên B′E⊥AB.
Gọi H là trung điểm của BB', trong (ABE) kẻ đường thẳng d qua H và song song với B’E cắt AO tại I.
⇒HI⊥AB.
Ta có: I∈HI⇒IB=IB′
I∈OA⇒IB=IC=IDI∈O′A⇒IB′=IC′=ID′
Từ đó suy ra IB=IC=ID=IB′=IC′=ID′.
Vậy điểm I cách đều 6 điểm B, C, D, B’, C’, D’ hay 6 điểm B, C, D, B’, C’, D’ cùng nằm trên mặt cầu tâm I bán kính R = IB.
Gọi J=B′E∩AO.
Tam giác BCD đều cạnh a nên BE=a√32⇒OE=13BE=a√36.
Tam giác B’C’D’ đều cạnh a2 nên B′F=a2√32=a√34⇒B′O′=23B′F=a√36.
Vì B’F // BE nên theo định lí Ta-let ta có: B′JJE=B′O′OE=1⇒B′J=JE.⇒B′J=12B′E.
Tam giác ACD đều cạnh a nên AE=a√32,AB′=12AB=a2.
Xét tam giác vuông AB’E có: B′E=√AE2−AB′2=√3a24−a24=a√22⇒B′J=a√24.
B’J // HI nên theo định lí Ta – let ta có: B′JHI=AB′AH=23⇒HI=3B′J2=3a√242=3a√28.
Xét tam giác vuông BHI có:
BI=√BH2+HI2=√a216+9a232=√11a232=a√228=R.
LG b
Tính thể tích khối chóp D.BCC’B’.
Lời giải chi tiết:
theo tỉ số k=12⇒SAB′C′SABC=14⇒SBCC′B′=34SABC.
⇒VD.BCC′B′VD.ABC=34⇒VD.BCC′B′=34VABCD.
Xét tam giác vuông AOE có:
AO=√AE2−OE2=√3a24−a212=a√63.SBCD=a2√34⇒VABCD=13AO.SBCD=13.a√63.a2√34=a3√212.⇒VD.BCC′B′=34a3√212=a3√216.
