Cho hàm số : \(y = f\left( x \right) = x + {1 \over x}\)
LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định: \(D = R\backslash \left\{ 0 \right\}\)
\(\eqalign{
& y' = 1 - {1 \over {{x^2}}} = {{{x^2} - 1} \over {{x^2}}} \cr
& y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1 \cr} \)
Hàm số đồng biến trên các khoảng: \(\left( { - \infty ; - 1} \right),\left( {1; + \infty } \right)\)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng: \(\left( { - 1;0} \right),\left( {0;1} \right)\)
+) Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại: \(x=-1 ; y(-1)= -2\)
Hàm số đạt cực tiểu tại: \(x=1;y(1)=2\)
+) Giới hạn:
\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {0^ - }} = - \infty ;\mathop {\lim y}\limits_{x \to {0^ + }} = + \infty \)
Tiệm cận đứng: \(x=0\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \pm \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (y - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {1 \over x} = 0\)
Tiệm cận xiên: \(y=x\)
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
LG b
Tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm \(M\left( {{x_o};f\left( {{x_o}} \right)} \right)\) cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại hai điểm A và B. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB và tam giác OAB có diện tích không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên đường cong (C).
Lời giải chi tiết:
Tiệm cận đứng x = 0; Tiệm cận xiên y = x.
Ta có \(f\left( x \right) = 1 - {1 \over {{x^2}}}\).
Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm \(M\left( {{x_o};f\left( {{x_o}} \right)} \right)\) là \(y = \left( {1 - {1 \over {x_o^2}}} \right)\left( {x - {x_o}} \right) + {x_o} + {1 \over {{x_o}}}\)
Thay x = 0 vào phương trình trên, ta được tung độ của điểm A:
\({y_A} = \left( {1 - {1 \over {x_o^2}}} \right)\left( { - {x_o}} \right) + {x_o} + {1 \over {{x_o}}} \) \(= {2 \over {{x_o}}}\).
Vậy \(A\left( {0;{2 \over {{x_o}}}} \right)\)
Hoành độ của điểm B là nghiệm của phương trình
\(\left( {1 - {1 \over {x_o^2}}} \right)\left( {x - {x_o}} \right) + {x_o} + {1 \over {{x_o}}} = x \)
\(\Leftrightarrow - {x \over {{x_o}}} + {2 \over {{x_o}}} = 0 \Leftrightarrow x = 2{x_o}\)
\({x_B} = 2{x_o}\).
Vậy \(B\left( {2{x_o};2{x_o}} \right)\)
Ta có: \({x_M} = {x_o} = {{0 + 2{x_o}} \over 2} \) \(= {{{x_A} + {x_B}} \over 2}\)
Vì ba điểm A, M, B thẳng hàng nên từ đó suy ra rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Ta thấy, khoảng cách từ B đến trục Oy bằng 2x0 là độ dài đường cao kẻ từ B của OAB, OA có độ dài bằng 2/x0 .
Diện tích tam giác OAB là
\(S = {1 \over 2}\left| {{y_A}} \right|\left| {{y_B}} \right| = {1 \over 2}\left| {{2 \over {{x_o}}}} \right|\left| {2{x_o} } \right|=2,\) với \(\forall {x_o} \ne 0\)
