Câu 2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; -3; -1) và B(-2; 1; 3).
LG a
Chứng tỏ rằng hai điểm A và B cách đều trục Ox.
Lời giải chi tiết:
Ta có Ox đi qua O(0, 0, 0) và có vectơ chỉ phương →i=(1,0,0).
⇒d(A;Ox)=|[→OA,→i]||→i|=√02+(−1)2+(3)2√12+02+02=√10.
⇒d(B;Ox)=|[→OB,→i]||→i|=√02+32+(−1)2√12+02+02=√10.⇒d(A;Ox)=d(B;Ox).
Vậy A và B cách đều trục Ox.
LG b
Tìm điểm C nằm trên trục Oz sao cho tam giác ABC vuông tại C.
Lời giải chi tiết:
Điểm C∈Oz nên C(0,0,c).
Ta có: →AC=(−1,3,c+1),→BC=(2,−1,c−3).
Tam giác ABC vuông tại C nên
→AC⊥→BC⇒→AC.→BC=0⇔−2−3+(c+1)(c−3)=0⇔−5+c2−2c−3=0⇔c2−2c−8=0⇔[c=4c=−2.
Vậy có 2 điểm C thỏa mãn đề bài là C(0,0,4) hoặc C(0,0,−2).
LG c
Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng AB trên mp(Oyz).
Lời giải chi tiết:
Hình chiếu của A trên mp(Oyz) là A′(0,−3,−1) và hình chiếu của B trên mp(Oyz) là B′(0,1,3).
⇒→A′B′=(0,4,4)=4(0,1,1).
Suy ra hình chiếu d’ của AB trên mp(Oyz) là đường thẳng đi qua A’ và nhận →u=(0,1,1) và 1 vectơ chỉ phương.
Phương trình tham số của d’ là:
{x=0y=−3+tz=−1+t.
LG d
Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm O, A, B và có tâm nằm trên mp(Oxy).
Lời giải chi tiết:
Gọi I là tâm của mặt cầu. Vì I∈(Oxy)⇒I(a,b,0).
Khi đó phương trình mặt cầu có dạng x2+y2+z2−2ax−2by+d=0.
Vì O, A, B thuộc mặt cầu nên tọa độ của O, A, B thỏa mãn phương tình mặt cầu.
Từ đó ta có hệ phương trình:
{d=01+9+1−2a+6b+d=04+1+9+4a−2b+d=0⇔{d=0−2a+6b=−114a−2b=−14⇔{a=−5310b=−185d=0
Vậy phương trình mặt cầu thỏa mãn đề bài là:
x2+y2+z2+535x+365y=0
⇔5x2+5y2+5z2+53x+36y=0.
