Bài 18 Trang 161 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

124 lượt xem

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Dùng phương pháp tích phân từng phần để tính các tích phân sau:

LG a

$\int\limits_1^2 {{x^5}} \ln xdx;$

Lời giải chi tiết:

Đặt

$\left\{ \matrix{ u = \ln x \hfill \cr dv = {x^5}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = {{dx} \over x} \hfill \cr v = {{{x^6}} \over 6} \hfill \cr} \right.$

$\int\limits_1^2 {{x^5}} \ln xdx = \left. {{{{x^6}} \over 6}\ln x} \right|_1^2 - {1 \over 6}\int\limits_1^2 {{x^5}} dx$ $= \left. {\left( {{{{x^6}} \over 6}\ln x - {{{x^6}} \over {36}}} \right)} \right|_1^2$

$= \left( {\dfrac{{64}}{6}\ln 2 - \dfrac{1}{6}\ln 1} \right) - \dfrac{1}{6}.\left. {\dfrac{{{x^6}}}{6}} \right|_1^2$ $= \dfrac{{32}}{3}\ln 2 - \dfrac{1}{6}\left( {\dfrac{{64}}{6} - \dfrac{1}{6}} \right)$ $= \dfrac{{32}}{3}\ln 2 - \dfrac{7}{4}$

LG b

$\int\limits_0^1 {\left( {x + 1} \right)} {e^x}dx;$

Lời giải chi tiết:

Đặt

$\left\{ \matrix{ u = x + 1 \hfill \cr dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = dx \hfill \cr v = {e^x} \hfill \cr} \right.$

$\int\limits_0^1 {\left( {x + 1} \right)} {e^x}dx$ $= \left. {\left( {x + 1} \right){e^x}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {{e^x}dx }$ $= 2e - 1 - \left. {{e^x}} \right|_0^1$ $= 2e - 1 - \left( {e - 1} \right) = e$

LG c

$\int\limits_0^\pi {{e^x}} \cos xdx;$

Lời giải chi tiết:

Đặt $I = \int\limits_0^\pi {{e^x}\cos xdx}$

Đặt

$\left\{ \matrix{ u = {e^x} \hfill \cr dv = \cos xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = {e^x}dx \hfill \cr v = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \hfill \cr} \right.$

Suy ra $I = \left. {{e^x}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right|_0^\pi - \int\limits_0^\pi {{e^x}\sin {\rm{x}}dx}$ $= {e^\pi }\sin \pi - {e^0}\sin 0 - \int\limits_0^\pi {{e^x}\sin xdx}$ $= 0 - \int\limits_0^\pi {{e^x}\sin xdx}$ $= - \int\limits_0^\pi {{e^x}\sin {\rm{x}}dx}$

Đặt

$\left\{ \matrix{ u = {e^x} \hfill \cr dv = \sin {\rm{x}}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = {e^x}dx \hfill \cr v = - \cos x \hfill \cr} \right.$

Do đó $I = - \left[ {\left. {\left( { - {e^x}\cos x} \right)} \right|_0^\pi + \int\limits_0^\pi {{e^x}\cos xdx} } \right]$ $= {e^\pi }\cos \pi - {e^0}.\cos 0 - I$

$\Rightarrow 2I = - {e^\pi } - 1 \Rightarrow I = - {1 \over 2}\left( {{e^\pi } + 1} \right)$

LG d

$\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {x\cos xdx.}$

Lời giải chi tiết:

Đặt

$\left\{ \matrix{ u = x \hfill \cr dv = \cos xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = dx \hfill \cr v = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \hfill \cr} \right.$

Do đó $\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {x\cos xdx }$

$= \left. {x\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx}$ $= \frac{\pi }{2}\sin \frac{\pi }{2} - 0 + \left. {\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}$ $= \frac{\pi }{2} + \cos \frac{\pi }{2} - \cos 0 = \frac{\pi }{2} - 1$

SGK Toán 12 Nâng cao