Cho hàm số: y=x4−(m+1)x2+m
LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 2.
Lời giải chi tiết:
Với m=2 hàm số đã cho có dạng: y=x4−3x2+2
Tập xác định: D=R
y′=4x3−6xy′=0⇔x(4x2−6)=0⇔[x=0x2=64⇔[x=0x=√62x=−√62
Hàm số đồng biến trên khoảng: (−√62;0) và (√62;+∞)
Hàm số nghịch biến trên khoảng: (−∞;−√62) và (0;√62)
Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x=0;y(0)=2
Hàm số đạt cực tiểu tại x=√62 và x=−√62, y(±√62)=−14
Giới hạn: lim
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;2)
Đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm: \left( { - \sqrt 2 ;0} \right),\left( { - 1;0} \right), \left( {1;0} \right),\left( {\sqrt 2 ;0} \right)
Đồ thị hàm số là hàm chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng.
LG b
Tìm các giá trị của m sao cho đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.
Lời giải chi tiết:
Hoành độ giao điểm của đường cong (C) và trục là nghiệm phương trình
{x^4} - \left( {m + 1} \right){x^2} + m = 0\,\,\,\left( 1 \right)
\Leftrightarrow \left[ \matrix{ {x^2} = 1 \hfill \cr {x^2} = m \hfill \cr} \right.
(1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m>0 và m \ne 1
Khi đó (1) có 4 nghiệm: x = - 1;\,x = 1;\,x = - \sqrt m ;\,x = \sqrt m
* - \sqrt m < - 1 < 1 < \sqrt m
(C) cắt trục tại 4 điểm tạo thành ba đoạn thẳng bằng nhau khi \sqrt m - 1 = 1 - \left( { - 1} \right) = 2 \Leftrightarrow m = 9
* - 1 < - \sqrt m < \sqrt m < 1
(C) cắt trục hoành tại 4 điểm tạo thành ba đoạn thẳng bằng nhau khi 1 - \sqrt m = \sqrt m - \left( { - \sqrt m } \right) = 2\sqrt m
Vậy m= 9 hoặc m = {1 \over 9}.
Cách khác:
Đặt t=x2, điều kiện t≥0.
Hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là nghiệm của phương trình:
x4-(m+1) x2+m=0 (1)
<=> t2-(m+1)t+m=0 (2)
Đồ thị của hàm số cắt trục tung tại bốn điểm tạo thành 3 đoạn thẳng có độ dai bằng nhau, tức 4 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng.
<=> Phương trình (2) có 2 nghiệm dương t1,t2 (với t1 < t2) thõa mãn điều kiện:
\begin{array}{l}\sqrt {{t_2}} - \sqrt {{t_1}} = \sqrt {{t_1}} - \left( { - \sqrt {{t_1}} } \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt {{t_2}} = 3\sqrt {{t_1}} \\ \Leftrightarrow {t_2} = 9{t_1}\end{array}
Điều kiện để (2) có 2 nghiệm dương phân biệt là:
Kết hợp với điều kiện (*), vậy với m = 9 hoặc m = 1/9 thì đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm, tạo thành 3 đoạn thẳng bằng nhau.
