Cho hàm số: \(y = {x^4} - \left( {m + 1} \right){x^2} + m\)
LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 2.
Lời giải chi tiết:
Với \(m=2\) hàm số đã cho có dạng: \(y={x^4} - 3{x^2} + 2\)
Tập xác định: \(D=\mathbb R\)
\(\eqalign{
& y' = 4{x^3} - 6x \cr
& y' = 0 \Leftrightarrow x\left( {4{x^2} - 6} \right) = 0\cr& \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = \frac{6}{4}\end{array} \right.\cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{x = 0 \hfill \cr x = {{\sqrt 6 } \over 2} \hfill \cr x = - {{\sqrt 6 } \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} \)
Hàm số đồng biến trên khoảng: \(\left( { - {{\sqrt 6 } \over 2};0} \right)\) và \(\left( {{{\sqrt 6 } \over 2}; + \infty } \right)\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng: \(\left( { - \infty ; - {{\sqrt 6 } \over 2}} \right)\) và \(\left( {0;{{\sqrt 6 } \over 2}} \right)\)
Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \(x=0;\,\,y(0)=2\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = {{\sqrt 6 } \over 2}\) và \(x = - {{\sqrt 6 } \over 2}\), \(y\left( { \pm {{\sqrt 6 } \over 2}} \right) = - {1 \over 4}\)
Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty \)
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Đồ thị cắt trục tung tại điểm \((0;2)\)
Đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm: \(\left( { - \sqrt 2 ;0} \right),\left( { - 1;0} \right),\) \(\left( {1;0} \right),\left( {\sqrt 2 ;0} \right)\)
Đồ thị hàm số là hàm chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng.
LG b
Tìm các giá trị của m sao cho đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.
Lời giải chi tiết:
Hoành độ giao điểm của đường cong (C) và trục là nghiệm phương trình
\({x^4} - \left( {m + 1} \right){x^2} + m = 0\,\,\,\left( 1 \right)\)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} = 1 \hfill \cr
{x^2} = m \hfill \cr} \right.\)
(1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m>0 và \(m \ne 1\)
Khi đó (1) có 4 nghiệm: \(x = - 1;\,x = 1;\,x = - \sqrt m ;\,x = \sqrt m \)
* \( - \sqrt m < - 1 < 1 < \sqrt m \)
(C) cắt trục tại 4 điểm tạo thành ba đoạn thẳng bằng nhau khi \(\sqrt m - 1 = 1 - \left( { - 1} \right) = 2 \Leftrightarrow m = 9\)
* \( - 1 < - \sqrt m < \sqrt m < 1\)
(C) cắt trục hoành tại 4 điểm tạo thành ba đoạn thẳng bằng nhau khi \(1 - \sqrt m = \sqrt m - \left( { - \sqrt m } \right) = 2\sqrt m \)
Vậy m= 9 hoặc \(m = {1 \over 9}\).
Cách khác:
Đặt t=x2, điều kiện t≥0.
Hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là nghiệm của phương trình:
x4-(m+1) x2+m=0 (1)
<=> t2-(m+1)t+m=0 (2)
Đồ thị của hàm số cắt trục tung tại bốn điểm tạo thành 3 đoạn thẳng có độ dai bằng nhau, tức 4 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng.
<=> Phương trình (2) có 2 nghiệm dương t1,t2 (với t1 < t2) thõa mãn điều kiện:
\(\begin{array}{l}\sqrt {{t_2}} - \sqrt {{t_1}} = \sqrt {{t_1}} - \left( { - \sqrt {{t_1}} } \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt {{t_2}} = 3\sqrt {{t_1}} \\ \Leftrightarrow {t_2} = 9{t_1}\end{array}\)
Điều kiện để (2) có 2 nghiệm dương phân biệt là:
Kết hợp với điều kiện (*), vậy với m = 9 hoặc m = 1/9 thì đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm, tạo thành 3 đoạn thẳng bằng nhau.
