Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi:
LG a
Đồ thị các hàm số y=4−x2,y=−x+2;
Phương pháp giải:
- Tìm hoành độ giao điểm.
- Tính diện tích theo công thức S=b∫a|f(x)−g(x)|dx
Lời giải chi tiết:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:
4−x2=−x+2⇔x2−x−2=0 ⇔[x=−1x=2
Với x∈[−1;2] thì −x2+x+2≥0 ⇒|−x2+x+2|=−x2+x−2
Khi đó
Do đó
S=2∫−1|4−x2−(−x+2)|dx=2∫−1|−x2+x+2|dx=2∫−1(−x2+x+2)dx=(−x33+x22+2x)|2−1=(−83+2+4)−(13+12−2)=92
Cách khác:
2∫−1|4−x2−(−x+2)|dx=2∫−1|−x2+x+2|dx=|2∫−1(−x2+x+2)dx|=|(−x33+x22+2x)|2−1|=|92|=92
LG b
Các đường cong có phương trình x=4−4y2 và x=1−y4 trong miền x≥0.
Phương pháp giải:
- Giải phương trình f(y)=g(y)
- Sử dụng công thức S=b∫a|f(y)−g(y)|dy
Lời giải chi tiết:
Phương trình tung độ giao điểm của hai đồ thị là
4−4y2=1−y4⇔y4−4y2+3=0 ⇔[y2=1y2=3 ⇔[y=±1y=±√3( loại vì x<0)
Với y∈[−1;1] thì y4−4y2+3 =(y2−1)(y2−3)≥0
Do đó,
Diện tích giới hạn hai đồ thị ở phần x≥0 là:
S=1∫−1|4−4y2−(1−y4)|dy=1∫−1|y4−4y2+3|dy=1∫−1(y4−4y2+3)dy=(y55−43y3+3y)|1−1
=(15−43+3)−(−15+43−3) =2815+2815=5615
Cách khác:
S=1∫−1|4−4y2−(1−y4)|dy=1∫−1|y4−4y2+3|dy=|1∫−1(y4−4y2+3)dy|=|(y55−4y33+3)|1−1|=|2815−(−2815)|=5615
