Cho khối lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có diện tích đáy bằng S và AA′=h. Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh AA′,BB′,CC′ lần lượt tại A1,B1 và C1. Biết AA1=a,BB1=b,CC1=c.
LG a
Tính thể tích hai phần của khối lăng trụ được phân chia bởi mặt phẳng (P).
Lời giải chi tiết:
Kẻ đường cao AI của tam giác ABC thì AI⊥(BCC′B′)
⇒AI=d(A1;(BCC′B′)). Ta có:
VABC.A1B1C1=VA1.ABC+VA1BCC1B1=13AA1.SABC+13SBCC1B1.d(A1,(BCC1B1))=13aS+13SBCC1B1.AI=13aS+13.12(b+c).BC.AI=13aS+13(b+c)S=13(a+b+c)SVA1B1C1A′B′C′=VABC.A′B′C′−VABC.A1B1C1=Sh−13(a+b+c)S=13S(3h−a−b−c)
Cách khác:
Không làm mất tính tổng quát, giả sử a≤b≤c.
Trên cạnh BB’ lấy B2 sao cho BB2=a
B1B2=b-a
Trên cạnh CC’ lấy C2 sao cho CC2=a
C1C2=c-a
Ta có: VABC.A1B1C1 =VABC.A1B2C2+VA1B2C2B1+VA1B1C2C1
Trong đó:
VABC.A1B2C2=AA1.SABC=aS(1)VA1B2C2B1=13B1B2.SA1B2C2=13(b−a)S(2)
(vì B1 B2⊥(A1 B2 C2 ); ∆A1 B2 C2=∆ABC)
Thay (1), (2) và (3) vào (*) ta được:
LG b
Với điều kiện nào của a,b,c thì thể tích hai phần đó bằng nhau ?
Lời giải chi tiết:
VABC.A1B1C1=VA1B1C1.A′B′C′ ⇔13(a+b+c)S=13S(3h−a−b−c) ⇔a+b+c=3h−a−b−c ⇔3h=2(a+b+c)
