Bài 41 Trang 175 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

143 lượt xem

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

LG a

$y = 2x\left( {1 - {x^{ - 3}}} \right);$

Lời giải chi tiết:

$\int {2x\left( {1 - {x^{ - 3}}} \right)} dx = \int {\left( {2x - 2{x^{ - 2}}} \right)dx }$ $= \dfrac{{2x}}{2} - \dfrac{{2.{x^{ - 1}}}}{{ - 1}} + C = x + 2.{x^{ - 1}} + C$ $= {x^2} + {2 \over x} + C$

LG b

$y = 8x - {2 \over {{x^{{1 \over 4}}}}};$

Lời giải chi tiết:

$\int {\left( {8x - {2 \over {{x^{{1 \over 4}}}}}} \right)dx = } \int {\left( {8x - 2{x^{ - {1 \over 4}}}} \right)} dx$ $= \dfrac{{8{x^2}}}{2} - \dfrac{{2.{x^{\frac{3}{4}}}}}{{\frac{3}{4}}} + C$ $= 4{x^2} - {8 \over 3}{x^{{3 \over 4}}} + C$

LG c

$y = {x^{{1 \over 2}}}\sin \left( {{x^{{3 \over 2}}} + 1} \right);$

Phương pháp giải:

Đổi biến $u = {x^{{3 \over 2}}} + 1$

Lời giải chi tiết:

Đặt

$u = {x^{{3 \over 2}}} + 1 \Rightarrow du = {3 \over 2}{x^{{1 \over 2}}}dx$ $\Rightarrow {x^{{1 \over 2}}}dx = {2 \over 3}du$

$\int {{x^{\frac{1}{2}}}\sin \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)dx}$ $= \frac{2}{3}\int {\sin udu}$ $= - \frac{2}{3}\cos u + C$ $= - \frac{2}{3}\cos \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right) + C$

Cách 2: Đưa vào vi phân

$\int {{x^{\frac{1}{2}}}\sin \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)dx}$ $= \int {\frac{2}{3}\sin \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)\left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)'dx}$ $= \frac{2}{3}\int {\sin \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)d\left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)}$ $= \frac{2}{3}.\left[ { - \cos \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)} \right] + C$ $= - \frac{2}{3}\cos \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right) + C$

LG d

$y = {{\sin \left( {2x + 1} \right)} \over {{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)}};$

Phương pháp giải:

Đổi biến $u=\cos (2x+1)$

Lời giải chi tiết:

Đặt $u = \cos \left( {2x + 1} \right)$ $\Rightarrow du = - 2\sin \left( {2x + 1} \right)dx$ $\Rightarrow \sin \left( {2x + 1} \right)dx = - {1 \over 2}du$

Do đó

$\int {\dfrac{{\sin \left( {2x + 1} \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)}}dx}$ $= \int {\left( { - \dfrac{1}{{2{u^2}}}} \right)du} = \dfrac{1}{2}\int {\left( { - \dfrac{1}{{{u^2}}}} \right)du}$ $= \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{u} + C = \dfrac{1}{{2u}} + C$ $= \dfrac{1}{{2\cos \left( {2x + 1} \right)}} + C$

Cách khác: Đưa vào vi phân

$\int {\dfrac{{\sin \left( {2x + 1} \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)}}dx}$ $= \int {\dfrac{{ - \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {2x + 1} \right)} \right]'dx}}{{{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)}}}$ $= - \dfrac{1}{2}\int {\dfrac{{d\left( {{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)} \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)}}}$ $= - \dfrac{1}{2}.\left( { - \dfrac{1}{{\cos \left( {2x + 1} \right)}}} \right) + C$ $= \dfrac{1}{{2\cos \left( {2x + 1} \right)}} + C$

SGK Toán 12 Nâng cao