Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
LG a
\(y = 2x\left( {1 - {x^{ - 3}}} \right);\)
Lời giải chi tiết:
\(\int {2x\left( {1 - {x^{ - 3}}} \right)} dx = \int {\left( {2x - 2{x^{ - 2}}} \right)dx }\) \(= \dfrac{{2x}}{2} - \dfrac{{2.{x^{ - 1}}}}{{ - 1}} + C = x + 2.{x^{ - 1}} + C\) \(= {x^2} + {2 \over x} + C \)
LG b
\(y = 8x - {2 \over {{x^{{1 \over 4}}}}};\)
Lời giải chi tiết:
\(\int {\left( {8x - {2 \over {{x^{{1 \over 4}}}}}} \right)dx = } \int {\left( {8x - 2{x^{ - {1 \over 4}}}} \right)} dx\) \( = \dfrac{{8{x^2}}}{2} - \dfrac{{2.{x^{\frac{3}{4}}}}}{{\frac{3}{4}}} + C\) \( = 4{x^2} - {8 \over 3}{x^{{3 \over 4}}} + C\)
LG c
\(y = {x^{{1 \over 2}}}\sin \left( {{x^{{3 \over 2}}} + 1} \right);\)
Phương pháp giải:
Đổi biến \(u = {x^{{3 \over 2}}} + 1\)
Lời giải chi tiết:
Đặt
\(u = {x^{{3 \over 2}}} + 1 \Rightarrow du = {3 \over 2}{x^{{1 \over 2}}}dx\) \(\Rightarrow {x^{{1 \over 2}}}dx = {2 \over 3}du \)
\(\int {{x^{\frac{1}{2}}}\sin \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)dx} \)\( = \frac{2}{3}\int {\sin udu} \) \( = - \frac{2}{3}\cos u + C\) \( = - \frac{2}{3}\cos \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right) + C\)
Cách 2: Đưa vào vi phân
\(\int {{x^{\frac{1}{2}}}\sin \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)dx} \)\( = \int {\frac{2}{3}\sin \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)\left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)'dx} \) \( = \frac{2}{3}\int {\sin \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)d\left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)} \) \( = \frac{2}{3}.\left[ { - \cos \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right)} \right] + C\) \( = - \frac{2}{3}\cos \left( {{x^{\frac{3}{2}}} + 1} \right) + C\)
LG d
\(y = {{\sin \left( {2x + 1} \right)} \over {{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)}};\)
Phương pháp giải:
Đổi biến \(u=\cos (2x+1)\)
Lời giải chi tiết:
Đặt \(u = \cos \left( {2x + 1} \right) \) \(\Rightarrow du = - 2\sin \left( {2x + 1} \right)dx \) \(\Rightarrow \sin \left( {2x + 1} \right)dx = - {1 \over 2}du\)
Do đó
\(\int {\dfrac{{\sin \left( {2x + 1} \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)}}dx} \)\( = \int {\left( { - \dfrac{1}{{2{u^2}}}} \right)du} = \dfrac{1}{2}\int {\left( { - \dfrac{1}{{{u^2}}}} \right)du} \) \( = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{u} + C = \dfrac{1}{{2u}} + C\) \( = \dfrac{1}{{2\cos \left( {2x + 1} \right)}} + C\)
Cách khác: Đưa vào vi phân
\(\int {\dfrac{{\sin \left( {2x + 1} \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)}}dx} \)\( = \int {\dfrac{{ - \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {2x + 1} \right)} \right]'dx}}{{{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)}}} \) \( = - \dfrac{1}{2}\int {\dfrac{{d\left( {{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)} \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)}}} \) \( = - \dfrac{1}{2}.\left( { - \dfrac{1}{{\cos \left( {2x + 1} \right)}}} \right) + C\) \( = \dfrac{1}{{2\cos \left( {2x + 1} \right)}} + C\)
