Bài 17 Trang 161 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

137 lượt xem

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Dùng phương pháp đổi biến số tính các tích phân sau:

LG a

$\int\limits_0^1 {\sqrt {x + 1} dx;}$

Lời giải chi tiết:

Đặt $u = \sqrt {x + 1} \Rightarrow {u^2} = x + 1$ $\Rightarrow 2udu = dx.$

Đổi cận

$\int\limits_0^1 {\sqrt {x + 1} } dx = \int\limits_1^{\sqrt 2 } {u.2udu}$ $= 2\int\limits_1^{\sqrt 2 } {{u^2}du}$ $= \left. {2.{{{u^3}} \over 3}} \right|_1^{\sqrt 2 } = {2 \over 3}\left( {2\sqrt 2 - 1} \right)$

LG b

$\int\limits_0^{{\pi \over 4}} {{{\tan x} \over {{{\cos }^2}x}}} dx;$

Lời giải chi tiết:

Đặt $u = \tan x \Rightarrow du = {{dx} \over {{{\cos }^2}x}}$

$\int\limits_0^{{\pi \over 4}} {{{\tan x} \over {{{\cos }^2}x}}} dx = \int\limits_0^1 {udu = } \left. {{{{u^2}} \over 2}} \right|_0^1 = {1 \over 2}$

LG c

$\int\limits_0^1 {{t^3}} {\left( {1 + {t^4}} \right)^3}dt;$

Lời giải chi tiết:

Đặt $\displaystyle u = 1 + {t^4} \Rightarrow du = 4{t^3}dt$ $\displaystyle \Rightarrow {t^3}dt = {{du} \over 4}$

$\displaystyle \int\limits_0^1 {{t^3}\left( {1 + {t^4}} \right)} dt$ $\displaystyle = {1 \over 4}\int\limits_1^2 {{u^3}} du = \left. {{1 \over 4}{{{u^4}} \over 4}} \right|_1^2$ $\displaystyle = {1 \over {16}}\left( {16 - 1} \right) = {{15} \over {16}}$

LG d

$\int\limits_0^1 {{{5x} \over {{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}}} dx;$

Lời giải chi tiết:

Đặt $\displaystyle u = {x^2} + 4 \Rightarrow du = 2xdx$ $\displaystyle \Rightarrow xdx = {1 \over 2}du$

$\displaystyle \int\limits_0^1 {{{5x} \over {{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}}} dx = {5 \over 2}\int\limits_4^5 {{{du} \over {{u^2}}}}$ $\displaystyle = \left. {{5 \over 2}\left( { - {1 \over u}} \right)} \right|_4^5$ $= \dfrac{5}{2}\left( { - \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{4}} \right)$ $\displaystyle = {1 \over 8}$

LG e

$\int\limits_0^{\sqrt 3 } {{{4x} \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}} dx;$

Lời giải chi tiết:

Đặt $u = \sqrt {{x^2} + 1} \Rightarrow {u^2} = {x^2} + 1$ $\Rightarrow udu = xdx$

$\int\limits_0^{\sqrt 3 } {{{4x} \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}} dx = 4\int\limits_1^2 {{{udu} \over u}} = \left. {4u} \right|_1^2 = 4$

LG f

$\int\limits_0^{{\pi \over 6}} {\left( {1 - \cos 3x} \right)} \sin 3xdx.$

Lời giải chi tiết:

Đặt $\displaystyle u = 1 - \cos 3x \Rightarrow du = 3\sin 3xdx$ $\displaystyle \Rightarrow \sin 3xdx = {1 \over 3}du$

$\displaystyle \int\limits_0^{{\pi \over 6}} {\left( {1 - \cos 3x} \right)} \sin 3xdx$ $\displaystyle = {1 \over 3}\int\limits_0^1 {udu = \left. {{{{u^2}} \over 6}} \right|} _0^1 = {1 \over 6}$

SGK Toán 12 Nâng cao