Bài 9 trang 9 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

136 lượt xem

Đề bài

Chứng minh rằng: $\sin x + \tan x > 2x$ với mọi $x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh hàm số $f\left( x \right) = \sin x + \tan x - 2x$ đồng biến trên nửa khoảng $\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)$ .

Lời giải chi tiết

Xét hàm số $f\left( x \right) = \sin x + \tan x - 2x$

Ta có: f(x) liên tục trên nửa khoảng $\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)$ và có đạo hàm: $f'\left( x \right) = \cos x + {1 \over {{{\cos }^2}x}}\, - 2$

Vì $x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)$ nên $0 < \cos x < 1 \Rightarrow \cos x > {\cos ^2}x$

$\Rightarrow \cos x + {1 \over {{{\cos }^2}x}} - 2$ $> {\cos ^2}x + {1 \over {{{\cos }^2}x}}\, - 2$

$\ge 2\sqrt {{{\cos }^2}x.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} - 2 = 2 - 2 = 0$

Do đó $f'\left( x \right) > 0$ với mọi $x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)$

Suy ra hàm số $f$ đồng biến trên $\,\left[ {0;{\pi \over 2}} \right)$

Khi đó ta có $f\left( x \right) > f\left( 0 \right) = 0$ với mọi $x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sin x + \tan x - 2x > 0\\ \Leftrightarrow \sin x + \tan x > 2x \end{array}$

với mọi $x \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)$ .