LG a
Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h.
Lời giải chi tiết:
Gọi H là tâm của tam giác đều ABC.
SH là đường cao của hình chóp đều S.ABC nên SH là trục của tam giác ABC.
Trong mặt phẳng (SAH) gọi O là giao điểm của đường trung trực SA với SH thì O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính của mặt cầu là R=SO.
Gọi I là trung điểm của SA thì tứ giác AHOI nội tiếp nên:
SO.SH=SI.SA ⇒SO=SA22SH=SA22h
Mà SA2=SH2+AH2 =h2+(a√33)2=a2+3h23
Từ đó suy ra R=SO=a2+3h26h
Vậy thể tích khối cầu cần tìm là V=π(a2+3h2)3162h3
LG b
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh cùng bằng a. Gọi A′,B′,C′,D′ lần lượt là trung điểm của SA,SB,SC,SD. Chứng minh rằng các điểm A,B,C,D,A′,B′,C′,D′ cùng thuộc một mặt cầu và tính thể tích khối cầu đó.
Lời giải chi tiết:
Gọi SH là đường cao của hình chóp đều S.ABCD thì H là tâm của hình vuông ABCD và SH đi qua tâm H′ của hình vuông A′B′C′D′.
Mọi điểm nằm trên SH đều cách đều bốn điểm A′,B′,C′,D′.
Trên đường thẳng SH, ta xác định điểm O sao cho OA=OA′ thì O cách đều tám điểm A,B,C,D,A′,B′,C′,D′ tức là tám điểm đó nằm trên mặt cầu tâm O, bán kính R=OA.
Điểm O là giao điểm của đường thẳng SH và mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AA′.
Ta có: 2a2=AC2=SA2+SC2 nên tam giác vuông cân tại S suy ra ^ASO=450 do đó ASIO vuông cân tại I và IS=IO=3a4.
Từ đó suy ra R=OA=√OI2+IA2 =√9a216+a216=a√104
Vậy thể tích khối cầu cần tìm là: V=43π(a√104)3=5πa3√1024
