Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
LG a
Đồ thị các hàm số y=x2−4, y=−x2−2x và đường thẳng x=−3,x=−2;
Phương pháp giải:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y=f(x),y=g(x), x=a,x=b.
+) B1: Tìm nghiệm a≤x1<x2<...<xn≤b của phương trình hoành độ giao điểm f(x)=g(x).
+) B2: Tính diện tích theo công thức:
S=b∫a|f(x)−g(x)|dx
=x1∫a|f(x)−g(x)|dx +x2∫x1|f(x)−g(x)|dx +...+xn∫xn−1|f(x)−g(x)|dx +b∫xn|f(x)−g(x)|dx
=|x1∫a[f(x)−g(x)]dx|+|x2∫x1[f(x)−g(x)]dx| +...+|xn∫xn−1[f(x)−g(x)]dx| +|b∫xn[f(x)−g(x)]dx|
Lời giải chi tiết:
Cách 1: Tính diện tích theo công thức
Ta có: x2−4=−x2−2x ⇔2x2+2x−4=0 ⇔[x=1x=−2
Có −3<−2<1 nên S=−2∫−3|x2−4−(−x2−2x)|dx =−2∫−3|2x2+2x−4|dx =|−2∫−3(2x2+2x−4)dx|
=|(2.x33+2.x22−4x)−2−3| =|203−3|=113
Cách 2: Xét dấu
Ta có
Ta thấy, khi −3≤x≤−2 thì 2x2+2x−4≥0
⇒|2x2+2x−4|=2x2+2x−4.
Do đó,
S=−2∫−3|x2−4−(−x2−2x)|dx =−2∫−3(2x2+2x−4)dx
=2−2∫−3(x2+x−2)dx
=2(x33+x22−2x)|−2−3=113
Chú ý:
Khi việc xét dấu phức tạp ta nên làm theo cách 1 sẽ tránh được việc lập bảng xét dấu.
LG b
Đồ thị hai hàm số y=x2 và y=−x2−2x
Lời giải chi tiết:
Cách 1:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:
x2−4=−x2−2x⇔x2+x−2=0 ⇔[x=−2x=1
S=1∫−2|x2−4−(−x2−2x)|dx =1∫−2|2x2+2x−4|dx =|1∫−2(2x2+2x−4)dx|
=|(2x33+2x22−4x)1−2| =|−73−203|=|−9|=9
Cách 2:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:
x2−4=−x2−2x⇔x2+x−2=0 ⇔[x=−2x=1
Ta thấy, khi −2≤x≤1 thì 2x2+2x−4≤0
⇒|2x2+2x−4|=−2x2−2x+4.
Do đó,
S=1∫−2|x2−4−(−x2−2x)|dx =1∫−2|2x2+2x−4|dx
=1∫−2(−2x2−2x+4)dx =(−2x33−x2+4x)|1−2=9
LG c
Đồ thị hàm số y=x3−4x, trục hoành, đường thẳng x=-2 và đường thẳng x=4
Lời giải chi tiết:
Cách 1:
Ta có: x3−4x=0⇔x(x2−4)=0 ⇔[x=0x=2x=−2
Ta thấy, −2<0<2<4
⇒S=4∫−2|x3−4x|dx =0∫−2|x3−4x|dx+2∫0|x3−4x|dx +4∫2|x3−4x|dx =|0∫−2(x3−4x)dx|+|2∫0(x3−4x)dx| +|4∫2(x3−4x)dx|
=|(x44−4x22)0−2|+|(x44−4x22)20| +|(x44−4x22)42| =|0−(−4)|+|−4−0|+|32−(−4)| =44
Cách 2:
S=4∫−2|x3−4x|dx =0∫−2(x3−4x)dx−2∫0(x3−4x)dx +4∫2(x3−4x)dx
=(x44−4x22)0−2−(x44−4x22)20 +(x44−4x22)42
=4−(−4)+36
=44
