Bài 24 trang 29 SKG Hình học 12 Nâng cao

121 lượt xem

Đề bài

Khối chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành, $M$ là trung điểm của cạnh $SC$ Mặt phẳng $(P)$ đi qua $AM$ song song với $BD$ chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích cùa hai phần đó.

Lời giải chi tiết

Gọi $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$ .

Gọi $G$ là giao điểm của $SO$ và $AM$ thì $G$ là trọng tâm của tam giác $SAC$ nên ${{SG} \over {SO}} = {2 \over 3}$ .
Mặt phẳng $(P)$ song song với $BD$ nên $(P)$ cắt mp $(SBD)$ theo giao tuyến $B’D’$ đi qua $G$ và $B’D’ // BD$ , trong đó $B’, D’$ lần lượt trên $SB$ và $SD$ .

Có $B’D’ // BD$ nên ${{SB'} \over {SB}} = {{SD'} \over {SD}} = {{SG} \over {SO}} = {2 \over 3}$
Mặt phẳng $(P)$ chia khối chóp $S.ABCD$ thành hai phần: Khối chóp $S.AB’MD’$ và khối đa diện $ABCDB’MD’$ .

${{{V_{S.AB'D'}}} \over {{V_{S.ABD}}}} = {{SA} \over {SA}}.{{SB'} \over {SB}}.{{SD'} \over {SD}} = {2 \over 3}.{2 \over 3} = {4 \over 9}$ $\Rightarrow {{{V_{S.AB'D'}}} \over {{V_{S.ABCD}}}} = {2 \over 9}$
(Vì ${V_{S.ABCD}} = 2{V_{S.ABD}}$ )
${{{V_{S.MB'D'}}} \over {{V_{S.CBD}}}} = {{SM} \over {SC}}.{{SB'} \over {SB}}.{{SD'} \over {SD}} = {1 \over 2}.{2 \over 3}.{2 \over 3} = {2 \over 9}$ $\Rightarrow {{{V_{S.MB'D'}}} \over {{V_{S.ABCD}}}} = {1 \over 9}$
Từ đó suy ra ${{{V_{S.AB'MD'}}} \over {{V_{S.ABCD}}}} = {{{V_{S.AB'D'}} + {V_{S.MB'D'}}} \over {{V_{S.ABCD}}}}$ $= {2 \over 9} + {1 \over 9} = {1 \over 3}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {V_{ABCDB'MD'}} = {V_{S.ABCD}} - {V_{S.AB'MD'}}\\ = {V_{S.ABCD}} - \frac{1}{3}{V_{S.ABCD}} = \frac{2}{3}{V_{S.ABCD}} \end{array}$

Vậy ${{{V_{S.AB'MD'}}} \over {{V_{ABCDB'MD'}}}} = \frac{{\frac{2}{3}{V_{S.ABCD}}}}{{\frac{1}{3}{V_{S.ABCD}}}} = \frac{1}{2}$

Cách khác:

Ta có: $\frac{{SB'}}{{SB}} = \frac{{SD'}}{{SD}} = \frac{{SG}}{{SO}} = \frac{2}{3}$ (1)

Lại có: GB’ = GD’

=> S_ΔAB'M=S_ΔAD'M (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

SGK Toán 12 Nâng cao