Cho hai đường thẳng
d:{x=ty=3z=6+t và
d′:{x=2+ty=1−tz=2−t
LG a
Chứng minh rằng d và d’ chéo nhau và vuông góc với nhau.
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng d đi qua M(0;3;6) và có vectơ chỉ phương →u=(1;0;1).
Đường thẳng d’ đi qua M′(2;1;2) và có vectơ chỉ phương →u′=(1;−1;−1).
Ta có
→MM′=(2;−2;−4);[→u,→u′]=(1;2;−1)⇒[→u,→u′].→MM′=2−4+4=2≠0.
Vậy d và d’ chéo nhau.
Ta có →u.→u′=1+0−1=0 ⇒d⊥d′.
LG b
Viết phương trình mp(P) đi qua d và vuông góc với d’, phương trình mp(Q) đi qua d’ và vuông góc với d.
Lời giải chi tiết:
Mp(P) đi qua M(0;3;6) và có vectơ pháp tuyến →n′=(1;−1;−1) nên ta có phương trình:
x−(y−3)−(z−6)=0 ⇔x−y−z+9=0
Mp(Q) đi qua M′(2;1;2) và có vectơ pháp tuyến →n=(1;0;1) nên có phương trình: (x−2)+z−2=0 ⇔x+z−4=0
LG c
Viết phương trình chính tắc của đường vuông góc chung của d và d’.
Lời giải chi tiết:
Đường vuông góc chung Δ của d và d’ là giao tuyến của mp(P) và mp(Q) nên
Δ:{x−y−z+9=0x+z−4=0.
Cho x = 0 ta có y = 5 và z = 4. Suy ra A(0; 5; 4)∈Δ , Δ có vectơ chỉ phương
→v=[→nP;→nQ] =(|−1−101|;|−1111|;|1−110|) =(−1;−2;1)
Phương trình chính tắc của Δ:x−1=y−5−2=z−41
