Bài 5 trang 190 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

129 lượt xem

Đề bài

Cho $z = - {1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i.$

Hãy tính ${1 \over z}$ ; $\overline z$ ; ${z^2}$ ; ${\left( {\overline z } \right)^3}$ ; $1 + z + {z^2}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng các công thức:

$\dfrac{1}{z} = \dfrac{{\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}}$

Kết hợp các công thức cộng, trừ nhân số phức.

Lời giải chi tiết

Ta có $z = - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$ $\Rightarrow \overline z = - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$

$\left| z \right| = \sqrt {{{\left( { - {1 \over 2}} \right)}^2} + {{\left( {{{\sqrt 3 } \over 2}} \right)}^2}} = 1$

Nên ${1 \over z} = {{\overline z } \over {{{\left| z \right|}^2}}} = \overline z = - {1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i$

${z^2} = {\left( { - {1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right)^2}$ $= {1 \over 4} - {{\sqrt 3 } \over 2}i - {3 \over 4} = - {1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i$

$\begin{array}{l} {\left( {\overline z } \right)^3} = \overline z .{\left( {\overline z } \right)^2}\\ = \left( { - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right){\left( { - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)^2}\\ = \left( { - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)\left( {\frac{1}{4} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i + \frac{3}{4}{i^2}} \right)\\ = \left( { - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)\left( { - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)\\ = {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)^2}\\ = \frac{1}{4} - \frac{3}{4}{i^2}\\ = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1 \end{array}$

$1 + z + {z^2}$ $= 1 + \left( { - {1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right) + \left( { - {1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right)$ $= 0$

Chú ý:

Có thể tính $\frac{1}{z}$ và $\left( {\overline z } \right)^3$ như sau:

SGK Toán 12 Nâng cao