Bài 35 trang 207 SGK giải tích 12 nâng cao

127 lượt xem

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a
LG b

Viết dạng lượng giác của số phức z và của các căn bậc hai của z cho mỗi mỗi trường hợp sau:

LG a

$\left| z \right| = 3$ và một acgumen của iz là ${{5\pi } \over 4};$

Phương pháp giải:

Giả sử z=r(cos $\varphi$ +i sin $\varphi$ ), tìm acgumen của số phức iz, từ đó tìm $\varphi$

Lời giải chi tiết:

Giả sử z=r(cos $\varphi$ +i sin $\varphi$ )

Vì |z| = 3 => r = 3

Ta có:

$\begin{array}{l}i = \cos \dfrac{\pi }{2} + i\sin \dfrac{\pi }{2}\\ \Rightarrow iz = 3\left[ {\cos \left( {\varphi + \dfrac{\pi }{2}} \right) + i\sin \left( {\varphi + \dfrac{\pi }{2}} \right)} \right]\end{array}$

Mà acgumen của $iz$ bằng $\dfrac{{5\pi }}{4}$ nên $\varphi + \dfrac{\pi }{2} = \dfrac{{5\pi }}{4} \Leftrightarrow \varphi = \dfrac{{3\pi }}{4}$

Vậy $z = 3\left( {\cos \dfrac{{3\pi }}{4} + i\sin \dfrac{{3\pi }}{4}} \right)$ .

Các căn bậc hai của z là $\sqrt 3 \left( {\cos {{3\pi } \over 8} + i\sin {{3\pi } \over 8}} \right)$ và $-\sqrt 3 \left( {\cos {{3\pi } \over 8} + i\sin {{3\pi } \over 8}} \right)$ hay $\sqrt 3 \left( {\cos {{11\pi } \over 8} + i\sin {{11\pi } \over 8}} \right)$ .

LG b

$\left| z \right| = {1 \over 3}$ và một acgumen của ${{\overline z } \over {1 + i}}$ là $- {{3\pi } \over 4}.$

Phương pháp giải:

Giả sử z=r(cos $\varphi$ +i sin $\varphi$ ), tìm acgumen của số phức $\dfrac{{\overline z }}{{1 + i}}$ , từ đó tìm $\varphi$

Lời giải chi tiết:

$1 + i = \sqrt 2 \left( {{1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 2 }}i} \right)$ $= \sqrt 2 \left( {\cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}} \right)$

Giả sử $z = r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)$

$\left| z \right| = \dfrac{1}{3} \Rightarrow r = \dfrac{1}{3}$

$\overline z = r\left( {\cos \varphi - i\sin \varphi } \right)$ $= \dfrac{1}{3}\left( {\cos \varphi - i\sin \varphi } \right)$ $= \dfrac{1}{3}\left[ {\cos \left( { - \varphi } \right) + i\sin \left( { - \varphi } \right)} \right]$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{\overline z }}{{1 + i}} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}\left[ {\cos \left( { - \varphi } \right) + i\sin \left( { - \varphi } \right)} \right]}}{{\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\cos \dfrac{\pi }{4} + i\sin \dfrac{\pi }{4}} \right)}}\\ = \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}\left[ {\cos \left( { - \varphi - \dfrac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( { - \varphi - \dfrac{\pi }{4}} \right)} \right]\end{array}$

Mà acgumen của $\dfrac{{\overline z }}{{1 + i}}$ bằng $- \dfrac{{3\pi }}{4}$ nên $- \varphi - \dfrac{\pi }{4} = - \dfrac{{3\pi }}{4} \Leftrightarrow \varphi = \dfrac{\pi }{2}$

$\Rightarrow z = \dfrac{1}{3}\left( {\cos \dfrac{\pi }{2} + i\sin \dfrac{\pi }{2}} \right)$

Dạng lượng giác của căn bậc hai của z là:

${1 \over {\sqrt 3 }}\left( {\cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}} \right)$ và $- {1 \over {\sqrt 3 }}\left( {\cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}} \right)$ hay ${1 \over {\sqrt 3 }}\left( {\cos {{5\pi } \over 4} + i\sin {{5\pi } \over 4}} \right)$

SGK Toán 12 Nâng cao