Bài 37 trang 93 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Hãy biểu diễn các lôgarit sau qua \(\alpha \) và \(\beta \):

a) \({\log _{\sqrt 3 }}50\), nếu \({\log _3}15 = \alpha ,{\log _3}10 = \beta \);

b) \({\log _4}1250 = \alpha \), nếu \({\log _2}5 = \alpha \).

LG a

\({\log _{\sqrt 3 }}50\), nếu \({\log _3}15 = \alpha ,{\log _3}10 = \beta \);

Phương pháp giải:

Áp dụng \({\log _{{a^\alpha }}}b = {1 \over \alpha }{\log _a}b\) \(\left( {a,b > 0,a \ne 1} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\({\log _{\sqrt 3 }}50 = {\log _{{3^{\frac{1}{2}}}}}50 = 2{\log _3}50 \)

\( = 2{\log _3}\left( {10.5} \right)= 2{\log _3}10 + 2{\log _3}5\)

\( = 2{\log _3}10 + 2{\log _3}{{15} \over 3} \)

\(= 2{\log _3}10 + 2\left( {{{\log }_3}15 - 1} \right)\)

\( = 2\beta + 2\left( {\alpha - 1} \right) = 2\alpha + 2\beta - 2\)

Cách trình bày khác:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{\log _3}15 = \alpha \Leftrightarrow {\log _3}\left( {3.5} \right) = \alpha \\
\Leftrightarrow {\log _3}3 + {\log _3}5 = \alpha \\
\Leftrightarrow 1 + {\log _3}5 = \alpha \\
\Leftrightarrow {\log _3}5 = \alpha - 1
\end{array}\)

Do đó,

\({\log _{\sqrt 3 }}50 = {\log _{{3^{\frac{1}{2}}}}}50 = 2{\log _3}50 \)

\( = 2{\log _3}\left( {10.5} \right)= 2{\log _3}10 + 2{\log _3}5\)

\( = 2\beta + 2\left( {\alpha - 1} \right) = 2\alpha + 2\beta - 2\)

LG b

\({\log _4}1250 = \alpha \), nếu \({\log _2}5 = \alpha \).

Lời giải chi tiết:

\({\log _4}1250 = {\log _{{2^2}}}1250 = \frac{1}{2}{\log _2}1250 \)

\(= {1 \over 2}{\log _2}\left( {{5^4}.2} \right) = \frac{1}{2}\left( {{{\log }_2}{5^4} + {{\log }_2}2} \right)\) \( = \frac{1}{2}\left( {4{{\log }_2}5 + 1} \right)\)

\(= 2{\log _2}5 + {1 \over 2} = 2\alpha + {1 \over 2}.\)