Bài 13 Trang 153 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

118 lượt xem

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a
LG b

LG a

Chứng minh rằng nếu $f\left( x \right) \ge 0$ trên $\left[ {a;b} \right]$ thì $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx \ge 0.}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tích phân Leibnitz $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = F\left( b \right) - F\left( a \right)$

Lời giải chi tiết:

Nếu $f\left( x \right) = 0$ thì $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^b {0dx} = \left. C \right|_a^b = 0$

Nếu $f\left( x \right) > 0$ , gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].

Ta có: F’(x) = f(x) > 0 trên đoạn [a; b] nên F(x) đồng trên đoạn [a; b]

Mà a < b $\Rightarrow$ F(a) < F (b).

$\Rightarrow \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = F\left( b \right) - F\left( a \right) > 0$ .

Vậy $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \ge 0$ .

LG b

Chứng minh rằng nếu $f\left( x \right) \ge g\left( x \right)$ trên $\left[ {a;b} \right]$ thì $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \ge \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} .$

Lời giải chi tiết:

Trên đoạn [a, b] ta có; f(x) > g(x) nên f(x ) – g(x) $\ge$ 0.

Theo câu a, ta có: f(x ) – g(x) $\ge$ 0, nên

$\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} \ge 0$ $\Leftrightarrow \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} - \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \ge 0$ $\Leftrightarrow \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \ge \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx}$ .

Vậy $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \ge \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx}$ .

SGK Toán 12 Nâng cao