LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y=x3−3x2+1.
Lời giải chi tiết:
TXĐ: D=R
lim
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng \left( { - \infty ;0} \right) và \left( {2; + \infty } \right); nghịch biến trên khoảng (0;2).
Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0, giá trị cực đại y(0) = 1; hàm số đat cực tiểu tại điểm x = 2, giá trị cực tiểu y(2) = -3.
y'' = 6x - 6
y'' = 0 \Leftrightarrow x = 1;\,y\left( 1 \right) = - 1
Xét dấu y”
Điểm uốn của đồ thị I(1;-1)
Điểm đặc biệt x = - 1 \Rightarrow y = - 3
Đồ thị: đồ thị nhận điểm I(1;-1) làm tâm đối xứng.
LG b
Tùy theo các giá trị của m, hãy biện luận số nghiệm của phương trình: {x^3} - 3{x^2} + m + 2 = 0
Lời giải chi tiết:
Ta có: {x^3} - 3{x^2} + m + 2 = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 1 = - m - 1
Số nghiệm của phương trình trên bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = {x^3} - 3{x^2} + 1 và đường thẳng y = - m -1 (song song hoặc trùng với trục Ox và đi qua điểm (0;-m-1)).
Dựa vào đồ thị ta có:
- Nếu - m - 1<-3\Rightarrow m>2 thì phương trình có 1 nghiệm.
- Nếu -m-1=-3\Rightarrow m=2 thì phương trình có 2 nghiệm.
- Nếu -3< -m-1<1 \Rightarrow -2<m<2 thì phương trình có 3 nghiệm.
- Nếu -m-1=1\Rightarrow m=-2 thì phương trình có 2 nghiệm
- Nếu -m-1>1\Rightarrow m<-2 thì phương trình có 1 nghiệm.
Kết luận,
+) m < - 2 hoặc m > 2 thì phương trình có 1 nghiệm.
+) m = 2 hoặc m = - 2 thì phương trình có 2 nghiệm
+) -2 < m < 2 thì phương trình có 3 nghiệm.
