Đề bài
Chứng minh rằng |z|=|w|=1 thì số z+w1+zw là số thực (giả sử 1+zw≠0).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng tính chất:
Số phức z=a+bi là số thực nếu ¯z=z
Lời giải chi tiết
Ta có z.¯z=|z|2=1⇒¯z=1z. Tương tự ¯w=1w
Do đó ¯(z+w1+zw)=¯z+¯w1+¯z.¯w=1z+1w1+1z.1w=z+w1+zw.
Suy ra z+w1+zw là số thực.
Cách khác:
Giả sử z=a+bi,w=a'+b'i với a2+b2=a'2+b'2=1 và 1+zw ≠ 0
Vì |z| = 1 nên z.z−=1
Khi đó, ta có:
Xét phần ảo ở trên tử số ta có: (b+b' )(1+aa'-bb' )-(a+a' )(a' b+ab' )
=b+baa'-b2b'+b'+b' aa'-bb'2-aa' b-a2 b'-a'2 b-a'ab'
=b+b'-b' (a2+b2 )-b(b'2+a'2 )=b+b'-b'-b=0
