Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( {\alpha '} \right)\) trong mỗi trường hợp sau:
LG a
\(\left( \alpha \right):2x - y + 4z + 5 = 0,\,\,\left( {\alpha '} \right):3x + 5y - z - 1 = 0\)
Phương pháp giải:
- Gọi điểm M(x;y;z).
- Điểm M cách đều hai mp \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( {\alpha '} \right)\)
\( \Leftrightarrow d\left( {M,\left( \alpha \right)} \right) = d\left( {M,\left( {\alpha '} \right)} \right)\)
Lời giải chi tiết:
Điểm \(M\left( {x,y,z} \right)\) cách đều hai mặt phẳng đã cho khi và chỉ khi:
\(\eqalign{
& {{\left| {2x - y + 4z + 5} \right|} \over {\sqrt {4 + 1 + 16} }} = {{\left| {3x + 5y - z - 1} \right|} \over {\sqrt {9 + 25 + 1} }} \cr
& \Leftrightarrow \sqrt 5 \left| {2x - y + 4z + 5} \right| = \sqrt 3 \left| {3x + 5y - z - 1} \right| \cr
& \Leftrightarrow \sqrt 5 \left( {2x - y + 4z + 5} \right) = \pm \sqrt 3 \left( {3x + 5y - z - 1} \right) \cr} \)
Vậy tập hợp các điểm M là hai mặt phẳng:
\(\eqalign{
& \left( {2\sqrt 5 - 3\sqrt 3 } \right)x - \left( {\sqrt 5 + 5\sqrt 3 } \right)y + \left( {4\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)z + 5\sqrt 5 + \sqrt 3 = 0 \cr
& \left( {2\sqrt 5 + 3\sqrt 3 } \right)x - \left( {\sqrt 5 - 5\sqrt 3 } \right)y + \left( {4\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)z + 5\sqrt 5 - \sqrt 3 = 0 \cr} \)
LG b
\(\left( \alpha \right):2x + y - 2z - 1 = 0,\,\,\left( {\alpha '} \right):6x - 3y + 2z - 2 = 0 \)
Lời giải chi tiết:
Điểm \(M\left( {x,y,z} \right)\) cách đều hai mặt phẳng đã cho khi và chỉ khi:
\(\eqalign{
& {{\left| {2x + y - 2z - 1} \right|} \over {\sqrt {4 + 1 + 4} }} = {{\left| {6x - 3y + 2z - 2} \right|} \over {\sqrt {36 + 9 + 4} }} \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
7\left( {2x + y - 2z - 1} \right) = 3\left( {6x - 3y + 2z - 2} \right) \hfill \cr
7\left( {2x + y - 2z - 1} \right) = - 3\left( {6x - 3y + 2z - 2} \right) \hfill \cr} \right. \cr &\Leftrightarrow \left[ \matrix{
- 4x + 16y - 20z - 1 = 0 \hfill \cr
32x - 2y - 8z - 13 = 0 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Tập hợp các điểm M là hai mặt phẳng có phương trình:
\( - 4x + 16y - 20z - 1 = 0\,\,;\,\,32x - 2y - 8z - 13 = 0\).
LG c
\(\left( \alpha \right):x + 2y + z - 1 = 0,\,\,\left( {\alpha '} \right):x + 2y + z + 5 = 0\)
Lời giải chi tiết:
Điểm \(M\left( {x,y,z} \right)\) cách đều hai mặt phẳng đã cho khi và chỉ khi:
\(\eqalign{
& {{\left| {x + 2y + z - 1} \right|} \over {\sqrt {1 + 4 + 1} }} = {{\left| {x + 2y + z + 5} \right|} \over {\sqrt {1 + 4 + 1} }} \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x + 2y + z - 1 = x + 2y + z + 5 \hfill \cr
x + 2y + z - 1 = - x - 2y - z - 5 \hfill \cr} \right. \cr &\Leftrightarrow 2x + 4y + 2z + 4 = 0 \cr} \)
Tập hợp các điểm M là một mặt phẳng có phương trình : \(x + 2y + z + 2 = 0\).
