Bài 8 trang 111 SGK Hình học 12 Nâng cao

111 lượt xem

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình:
$\left( P \right):2x - y + z + 2 = 0$ và $\left( Q \right):x + y + 2z - 1 = 0$ .

LG a

Chứng minh rằng (P) và (Q) cắt nhau. Tìm góc giữa hai mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có các vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1;1} \right)$ và $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;1;2} \right)$ .

Vì $\frac{2}{1} \ne \frac{{ - 1}}{1} \ne \frac{1}{2}$ nên hai vectơ đó không cùng phương nên (P) và (Q) cắt nhau.
Gọi $\varphi$ là góc giữa hai mặt phẳng đó thì:
$\cos \varphi = {{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}} = {{\left| {2 - 1 + 2} \right|} \over {\sqrt 6 .\sqrt 6 }} = {1 \over 2}$ .
Vậy $\varphi = {60^0}.$

LG b

Viết phương trình đường thẳng d đi qua $A\left( {1;2; - 3} \right)$ , song song với cả (P) và (Q).

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d song song với cả (P) và (Q) nên d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u$ vuông góc với cả $\overrightarrow {{n_P}}$ và $\overrightarrow {{n_Q}}$ .

Vì $\left[ {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( { - 3; - 3;3} \right)$ nên ta có thể lấy $\overrightarrow u = \left( {1;1; - 1} \right)$ .
Ngoài ra điểm $A\left( {1;2; - 3} \right)$ không nằm trên cả (P) và (Q) nên đường thẳng d cần tìm có phương trình: ${{x - 1} \over 1} = {{y - 2} \over 1} = {{z + 3} \over { - 1}}$ .

LG c

Viết phương trình mp(R) đi qua $B\left( { - 1;3;4} \right)$ , vuông góc với cả (P) và (Q).

Lời giải chi tiết:

$\left( R \right) \bot \left( P \right)\,\,;\,\,\left( R \right) \bot \left( Q \right)$

Suy ra (R) đi qua $B\left( { - 1;3;4} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow u = \left( {1;1; - 1} \right)$ nên (R) có phương trình: $x + 1 + y - 3 - \left( {z - 4} \right) = 0$ $\Leftrightarrow x + y - z + 2 = 0.$

SGK Toán 12 Nâng cao