Hãy tìm dạng lượng giác của các số phức: \(\overline z \,;\, - z;\,{1 \over {\overline z }};\,kz\,\left( {k \in \mathbb R^*} \right)\) trong mỗi trường hợp sau:
LG a
\(z = r\left( {\cos \varphi + i\sin\varphi } \right)\,\left( {r > 0} \right);\)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{ &\overline z = r\left( {\cos \varphi - i\sin \varphi } \right) \cr &= r\left( {\cos \left( { - \varphi } \right) + i\sin \left( { - \varphi } \right)} \right) \cr & - z = - r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right) \cr &= r\left( {\cos \left( {\pi + \varphi } \right) + i\sin \left( {\pi + \varphi } \right)} \right) \cr & {1 \over z} = {z \over {\overline z .z}} = {1 \over r}\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right) \cr & kz = kr\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)\,\,\text{nếu}\,k > 0 \cr & kz = - kr\left( {\cos \left( {\pi + \varphi } \right) + i\sin \left( {\pi + \varphi } \right)} \right)\,\,\text{nếu}\,\,k < 0 \cr} \)
(Vì kz là một số phức có modun là |kz| = |k|. |z| = |k|.r, có acgumen là φ nếu K > 0, là φ+π nếu k < 0)
LG b
\(z = 1 + \sqrt 3 i.\)
Lời giải chi tiết:
\(z = 1 + \sqrt 3 i = 2\left( {{1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right) \) \(= 2\left( {\cos {\pi \over 3} + i\sin {\pi \over 3}} \right)\)
Áp dụng câu a) ta có: \(\overline z = 2\left( {\cos \left( { - {\pi \over 3}} \right) + i\sin \left( { - {\pi \over 3}} \right)} \right)\)
\( - z = 2\left( {\cos {{4\pi } \over 3} + i\sin {{4\pi } \over 3}} \right);\) \({1 \over {\overline z }} = {1 \over 2}\left( {\cos {\pi \over 3} + i\sin {\pi \over 3}} \right)\)
\(\eqalign{ & kz = 2k\left( {\cos {\pi \over 3} + i\sin {\pi \over 3}} \right)\,\,\text{nếu}\,\,k > 0 \cr & kz = - 2k\left( {\cos {{4\pi } \over 3} + i\sin {{4\pi } \over 3}} \right)\,\text{nếu}\,\,k < 0 \cr} \)
Chú ý:
Khi yêu cầu bài toán là tìm dạng lượng giác thì các em cần đưa đúng về dạng \(z = r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)\).
Các cách viết như sau đều không phải dạng lượng giác của số phức:
+) \(z = r\left( {\cos \varphi - i\sin \varphi } \right)\)
+) \(z = -r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)\)
...
Logiaihay.com
