Bài 34 trang 207 SGK giải tích 12 nâng cao

134 lượt xem

Đề bài

Cho số phức ${\rm{w}} = - {1 \over 2}\left( {1 + i\sqrt 3 } \right)$ . Tìm các số nguyên dương n để ${{\rm{w}}^n}$ là số thực. Hỏi có chăng một số nguyên dương m để ${{\rm{w}}^m}$ là số ảo?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Biến đổi w về dạng lượng giác.

- Sử dụng công thức Moa-vrơ tính $w^n$

$\begin{array}{l} z = r\left( {\cos \varphi + \sin \varphi } \right)\\ \Rightarrow {z^n} = {r^n}\left( {\cos n\varphi + i\sin n\varphi } \right) \end{array}$

Lời giải chi tiết

Ta có: $\rm{w} = - {1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i$ $= \cos {{4\pi } \over 3} + i\sin {{4\pi } \over 3}$

Suy ra ${\rm{w}^n} = \cos {{4\pi n} \over 3} + i\sin {{4\pi n} \over 3}$

${\omega ^n}$ là số thực $\Leftrightarrow \sin {{4n\pi } \over 3} = 0 \Leftrightarrow {{4n\pi } \over 3} = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb Z} \right)$

$\Leftrightarrow 4n = 3k$

$\Leftrightarrow k = \frac{{4n}}{3} = n + \frac{n}{3} \in \mathbb{Z} \Rightarrow n \vdots 3$

Vậy n chia hết cho 3 (n nguyên dương)

${\rm{w} ^m}$ (m nguyên dương) là số ảo $\Leftrightarrow \cos {{4m\pi } \over 3} = 0$ $\Leftrightarrow {{4m\pi } \over 3} = {\pi \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb Z} \right)$

$\Leftrightarrow 8m = 6k + 3$ (vô lí vì vế trái chẵn, vế phải lẻ).

Vậy không có số nguyên dương m để ${\rm{w} ^m}$ là số ảo.

SGK Toán 12 Nâng cao