Đề bài
Cho số phức \({\rm{w}} = - {1 \over 2}\left( {1 + i\sqrt 3 } \right)\). Tìm các số nguyên dương n để \({{\rm{w}}^n}\) là số thực. Hỏi có chăng một số nguyên dương m để \({{\rm{w}}^m}\) là số ảo?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Biến đổi w về dạng lượng giác.
- Sử dụng công thức Moa-vrơ tính \(w^n\)
\(\begin{array}{l}
z = r\left( {\cos \varphi + \sin \varphi } \right)\\
\Rightarrow {z^n} = {r^n}\left( {\cos n\varphi + i\sin n\varphi } \right)
\end{array}\)
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\rm{w} = - {1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i \) \(= \cos {{4\pi } \over 3} + i\sin {{4\pi } \over 3}\)
Suy ra \({\rm{w}^n} = \cos {{4\pi n} \over 3} + i\sin {{4\pi n} \over 3}\)
\({\omega ^n}\) là số thực \( \Leftrightarrow \sin {{4n\pi } \over 3} = 0 \Leftrightarrow {{4n\pi } \over 3} = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb Z} \right)\)
\( \Leftrightarrow 4n = 3k \)
\( \Leftrightarrow k = \frac{{4n}}{3} = n + \frac{n}{3} \in \mathbb{Z} \Rightarrow n \vdots 3\)
Vậy n chia hết cho 3 (n nguyên dương)
\({\rm{w} ^m}\) (m nguyên dương) là số ảo \( \Leftrightarrow \cos {{4m\pi } \over 3} = 0\) \( \Leftrightarrow {{4m\pi } \over 3} = {\pi \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb Z} \right)\)
\( \Leftrightarrow 8m = 6k + 3\) (vô lí vì vế trái chẵn, vế phải lẻ).
Vậy không có số nguyên dương m để \({\rm{w} ^m}\) là số ảo.
