Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
LG a
\(y = {1 \over 3}{x^3} - 2{x^2} + 4x - 5\)
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \(D=\mathbb R\)
\(y' = {x^2} - 4x + 4 = {\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0\), \(\forall x \in \mathbb R\)
Dấu bằng chỉ xảy ra khi \(x=2\)
Vậy hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\).
LG b
\(y = - {4 \over 3}{x^3} + 6{x^2} - 9x - {2 \over 3}\)
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \(D=\mathbb R\)
\(y' = - 4{x^2} + 12x - 9 \) \(= - \left( {4{x^2} - 12x + 9} \right)\)
\(= - {\left( {2x - 3} \right)^2} \le 0,\forall x \in \mathbb R\)
Dấu bằng chỉ xảy ra khi \(x = {3 \over 2}\).
Vậy hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\).
LG c
\(y = {{{x^2} - 8x + 9} \over {x - 5}}\)
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \(D = \mathbb R\backslash \left\{ 5 \right\}\)
\(y' = \frac{{\left( {{x^2} - 8x + 9} \right)'\left( {x - 5} \right) - \left( {{x^2} - 8x + 9} \right)\left( {x - 5} \right)'}}{{{{\left( {x - 5} \right)}^2}}}\) \( = {{\left( {2x - 8} \right)\left( {x - 5} \right) - \left( {{x^2} - 8x + 9} \right)} \over {{{\left( {x - 5} \right)}^2}}} = {{{x^2} - 10x + 31} \over {{{\left( {x - 5} \right)}^2}}} \)
\( = \frac{{{x^2} - 10x + 25 + 6}}{{{{\left( {x - 5} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {x - 5} \right)}^2} + 6}}{{{{\left( {x - 5} \right)}^2}}}> 0\) với mọi \(x \ne 5\)
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;5} \right)\) và \(\left( {5; + \infty } \right)\).
LG d
\(y = \sqrt {2x - {x^2}} \)
Lời giải chi tiết:
Hàm số xác định khi và chỉ khi \(2x - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le 2\).
TXĐ: \(D = \left[ {0;2} \right]\)
\(y' = \frac{{\left( {2x - {x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {2x - {x^2}} }}= {{2 - 2x} \over {2\sqrt {2x - {x^2}} }} = {{1 - x} \over {\sqrt {2x - {x^2}} }}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\,\,\,\,\left( {y = 1} \right)\)
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\).
LG e
\(y = \sqrt {{x^2} - 2x + 3} \)
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \(D = \mathbb R\)
(vì \({x^2} - 2x + 3 \) \( = {\left( {x - 1} \right)^2} + 2> 0,\forall x \in \mathbb R\))
\(y' = \frac{{\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)'}}{{2\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }}={{2x - 2} \over {2\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }} \) \(= {{x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }}\);
\(y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\,\,\,(y = \sqrt 2 )\)
Bảng biến thiên
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
LG f
\(y = {1 \over {x + 1}} - 2x\)
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \(D =\mathbb R \backslash \left\{ { - 1} \right\}\)
\(y' = - {1 \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - 2 < 0,\,\,\forall x \ne - 1\)
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) .
