Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
LG a
y=2sin2x+2sinx−1
Lời giải chi tiết:
Đặt t=sinx,−1≤t≤1
y=f(t)=2t2+2t−1
Ta tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(t) trên đoạn [−1;1].
Đó cũng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên R.
f′(t)=4t+2;f′(t)=0⇔t=−12
Ta có: f(−1)=−1;f(−12)=−32; f(1)=3
Bảng biến thiên:
min
Vậy \mathop {\min \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}} = - {3 \over 2} đạt được khi
\sin x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.
\mathop {\max \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}} = 3 đạt được khi \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi
LG b
y = {\cos ^2}2x - \sin x\cos x + 4
Lời giải chi tiết:
Ta có: y = 1 - {\sin ^2}2x - {1 \over 2}\sin 2x + 4 = - {\sin ^2}2x - {1 \over 2}\sin 2x + 5
Đặt t = \sin 2x, - 1 \le t \le 1
y = f\left( t \right) = - {t^2} - {1 \over 2}t + 5
f'\left( t \right) = - 2t - {1 \over 2}
f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = - {1 \over 4} \in \left[ { - 1;1} \right]
Ta có: f\left( { - 1} \right) = {9 \over 2};f\left( { - {1 \over 4}} \right) = {{81} \over {16}}; f\left( 1 \right) = {7 \over 2}
BBT:
\mathop {\min \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]} = {7 \over 2};\mathop {\max \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]} = {{81} \over {16}}
Vậy \mathop {\min \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}} = {7 \over 2} đạt được khi \sin 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi
\mathop {\max \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}} = {{81} \over {16}} đạt được khi
\sin 2x = - \frac{1}{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = \arcsin \left( { - \frac{1}{4}} \right) + k2\pi \\ 2x = \pi - \arcsin \left( { - \frac{1}{4}} \right) + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{1}{2}\arcsin \left( { - \frac{1}{4}} \right) + k\pi \\ x = \frac{\pi }{2} - \frac{1}{2}\arcsin \left( { - \frac{1}{4}} \right) + k\pi \end{array} \right.
