Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
LG a
y=2sin2x+2sinx−1y=2sin2x+2sinx−1
Lời giải chi tiết:
Đặt t=sinx,−1≤t≤1t=sinx,−1≤t≤1
y=f(t)=2t2+2t−1y=f(t)=2t2+2t−1
Ta tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(t)y=f(t) trên đoạn [−1;1][−1;1].
Đó cũng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên RR.
f′(t)=4t+2;f′(t)=0⇔t=−12f′(t)=4t+2;f′(t)=0⇔t=−12
Ta có: f(−1)=−1;f(−12)=−32;f(−1)=−1;f(−12)=−32; f(1)=3f(1)=3
Bảng biến thiên:
minf(t)t∈[−1;1]=−32;maxf(t)t∈[−1;1]=3minf(t)t∈[−1;1]=−32;maxf(t)t∈[−1;1]=3
Vậy minyx∈R=−32minyx∈R=−32 đạt được khi
sinx=−12⇔[x=−π6+k2πx=7π6+k2π
maxyx∈R=3 đạt được khi sinx=1⇔x=π2+k2π
LG b
y=cos22x−sinxcosx+4
Lời giải chi tiết:
Ta có: y=1−sin22x−12sin2x+4 =−sin22x−12sin2x+5
Đặt t=sin2x,−1≤t≤1
y=f(t)=−t2−12t+5
f′(t)=−2t−12
f′(t)=0⇔t=−14∈[−1;1]
Ta có: f(−1)=92;f(−14)=8116; f(1)=72
BBT:
minf(t)t∈[−1;1]=72;maxf(t)t∈[−1;1]=8116
Vậy minyx∈R=72 đạt được khi sin2x=1⇔2x=π2+k2π ⇔x=π4+kπ
maxyx∈R=8116 đạt được khi
sin2x=−14 ⇔[2x=arcsin(−14)+k2π2x=π−arcsin(−14)+k2π ⇔[x=12arcsin(−14)+kπx=π2−12arcsin(−14)+kπ
