Cho hàm số: y=x4−(m+1)x2+m
LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m=2.
Lời giải chi tiết:
Với m=2 ta có: y=x4−3x2+2
TXĐ: D=R
limx→±∞y=+∞y′=4x3−6xy′=0⇔[x=0x=±√32y(0)=2;y(±√32)=−14
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng (−√32;0) và (√32;+∞)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞;−√32) và (0;√32)
Hàm số đạt cực đại tại x=0 và yCD=2
Hàm số đạt cực tiểu tại x=±√32 và yCT=−14
y″
y'' = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt {{1 \over 2}} ;\,y\left( { \pm \sqrt {{1 \over 2}} } \right) = {3 \over 4}
Đồ thị có hai điểm uốn : {I_1}\left( { - \sqrt {{1 \over 2}} ;{3 \over 4}} \right) và {I_2}\left( {\sqrt {{1 \over 2}} ;{3 \over 4}} \right)
Điểm đặc biệt
y = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {x^2} = 1 \hfill \cr {x^2} = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = \pm 1 \hfill \cr x = \pm \sqrt 2 \hfill \cr} \right.
Đồ thị: Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.
LG b
Chứng minh rằng đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của m.
Lời giải chi tiết:
Đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm \left( {{x_o};{y_o}} \right) khi và chỉ khi
{y_o} = x_o^4 - \left( {m + 1} \right)x_o^2 + m
\begin{array}{l} \Leftrightarrow {y_o} = x_o^4 - mx_o^2 - x_o^2 + m\\ \Leftrightarrow {y_o} = x_o^4 - x_o^2 + m\left( {1 - x_o^2} \right) \end{array}
\Leftrightarrow \left( {1 - x_o^2} \right)m + x_o^4 - x_o^2 - {y_o} = 0\,\,\left( 1 \right)
Đồ thị đi qua điểm \left( {{x_o};{y_o}} \right) với moi giá trị của m khi và chỉ khi phương trình (1) nghiệm đúng với mọi m, tức là:
\left\{ \begin{array}{l} 1 - x_o^2 = 0\\ x_o^4 - x_o^2 - {y_o} = 0 \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} {x_o} = 1\\ {x_o} = - 1 \end{array} \right.\\ -{y_o} = 0 \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_o} = 1 \hfill \cr {y_o} = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\text{ hoặc }\,\,\,\,\left\{ \matrix{ {x_o} = - 1 \hfill \cr {y_o} = 0 \hfill \cr} \right.
Vậy với mọi giá trị của m, đồ thị của hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định (-1;0) và (1;0).
