Bài 61 trang 56 SGK giải tích 12 nâng cao

128 lượt xem

Đề bài

Một viên đạn được bắn ra với vận tốc ban đầu ${v_o} > 0$ từ một nòng súng đặt ở gốc tọa độ $O$ , nghiêng một góc $\alpha$ với mặt đất (nòng súng nằm trong mặt phẳng thẳng đứng $Oxy$ và tạo với trục hoành $Ox$ góc $\alpha$ ). Biết quỹ đạo chuyển động của viên đạn là parabol.

$\left( {{\gamma _\alpha }} \right):y = - {g \over {2v_o^2}}\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right){x^2} + x\tan \alpha$ ( $g$ là gia tốc trọng trường).

Chứng minh rằng với mọi $\alpha \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right),\,\left( {{\gamma _\alpha }} \right)$ luôn tiếp xúc với parabol $(P)$ có phương trình là: $y = - {g \over {2v_o^2}}{x^2} + {{v_o^2} \over {2g}}$ và tìm tọa độ tiếp điểm $(P)$ được gọi là parabol an toàn).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Hai đường cong f(x) và g(x) tiếp xúc nhau nếu hệ sau có nghiệm:

$\left\{ \begin{array}{l} f\left( x \right) = g\left( x \right)\\ f'\left( x \right) = g'\left( x \right) \end{array} \right.$

Nghiệm của hệ trên chính là hoành độ tiếp điểm.

Lời giải chi tiết

Ta có:

$y = - {g \over {2v_o^2}}\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right){x^2} + x\tan \alpha$

$\Rightarrow y' =- {g \over {v_o^2}}\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right)x + \tan \alpha$

$y = - {g \over {2v_o^2}}{x^2} + {{v_o^2} \over {2g}}$

$\Rightarrow y'= - {g \over {v_o^2}}x$

Hoành độ tiếp điểm của hai parabol là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \matrix{ - {g \over {2v_o^2}}\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right){x^2} + x\tan \alpha = - {g \over {2v_o^2}}{x^2} + {{v_o^2} \over {2g}} \hfill \cr - {g \over {v_o^2}}\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right)x + \tan \alpha = - {g \over {v_o^2}}x \hfill \cr} \right.$

Xét phương trình thứ hai trong hệ:

$\begin{array}{l} PT \Leftrightarrow - \frac{g}{{v_0^2}}\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right)x + \tan \alpha + \frac{g}{{v_0^2}}x = 0\\ \Leftrightarrow \frac{g}{{v_0^2}}x\left( { - 1 - {{\tan }^2}\alpha + 1} \right) + \tan \alpha = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{ - g{{\tan }^2}\alpha }}{{v_0^2}}x = - \tan \alpha \\ \Leftrightarrow x = \left( { - \tan \alpha } \right):\frac{{ - g{{\tan }^2}\alpha }}{{v_0^2}}\\ \Leftrightarrow x = \frac{{v_0^2}}{{g\tan \alpha }} \end{array}$

Thay $x = {{v_o^2} \over {g\tan \alpha }}$ và pt thứ nhất trong hệ ta thấy thỏa mãn.

Vậy với mọi $\alpha \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)$ hai parabol luôn tiếp xúc với nhau.

Hoành độ tiếp điểm là $x = {{v_o^2} \over {g\tan \alpha }}$ . Tung độ của tiếp điểm là

$y = - {g \over {2v_o^2}}{\left( {{{v_o^2} \over {g\tan \alpha }}} \right)^2} + {{v_o^2} \over {2g}}$ $= {{v_o^2} \over {2g}}\left( {1 - {1 \over {{{\tan }^2}\alpha }}} \right)={{v_o^2} \over {2g}}{\left( {1 - {{\cot }^2}\alpha } \right)}$

Điểm $\left( {{{v_o^2} \over {g\tan \alpha }};{{v_o^2} \over {2g}}\left( {1 - {{\cot }^2}\alpha } \right)} \right)$ là tiếp điểm của hai parabol với mọi $\alpha \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)$

SGK Toán 12 Nâng cao