LG a
Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm A,B,C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn các số phức z1,z2,z3. Hỏi trọng tâm của tam giác ABC biểu diễn số phức nào?
Phương pháp giải:
Tìm tọa độ trọng tâm tam giác, từ đó suy ra số phức cần tìm.
Lời giải chi tiết:
Giả sử z1=a1+b1 i => A(a1;b1)
z2=a2+b2 i=>B(a2;b2)
z3=a3+b3 i=>C(a3;b3)
Suy ra trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ {xG=a1+a2+a33yG=b1+b2+b33
Lại có 13(z1+z2+z3) =13(a1+b1i+a2+b2i+a3+b3i) =13[(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i]
=a1+a2+a33+b1+b2+b33i
Do đó điểm G biểu diễn số phức 13(z1+z2+z3)
Cách khác:
Trong mặt phẳng phức gốc O,G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi
→OG=13(→OA+→OB+→OC).
Vậy G biểu diễn số phức 13(z1+z2+z3) vì →OA, →OB,→OC theo thứ tự biểu diễn z1,z2,z3.
LG b
Xét ba điểm A,B,C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn ba số phức phân biệt z1,z2,z3 thỏa mãn |z1|=|z2|=|z3|.
Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi z1+z2+z3=0
Phương pháp giải:
Tam giác đều có tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác trùng với trọng tâm.
Lời giải chi tiết:
|z1|=|z2|=|z3|⇔√a21+b21=√a22+b22=√a23+b23⇔OA=OB=OC
Do đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Tam giác ABC là tam giác đều khi và chỉ khi trọng tâm G của nó trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp, tức là G≡O hay:
{a1+a2+a33=0b1+b2+b33=0 ⇔{a1+a2+a3=0b1+b2+b3=0 ⇔z1+z2+z3=0