Bài 18 trang 81 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

136 lượt xem

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số với số mũ hữu tỉ:

LG a

$\root 4 \of {{x^2}\root 3 \of x } \,\,\,\,\left( {x > 0} \right);$

Phương pháp giải:

Lưu ý: $\root n \of a = a^{1 \over n} (a>0)$ ; $a^m.a^n=a^{m+n}$

Lời giải chi tiết:

$\root 4 \of {{x^2}\root 3 \of x } = {\left( {{x^2}.{x^{{1 \over 3}}}} \right)^{{1 \over 4}}} = {\left( {{x^{{7 \over 3}}}} \right)^{{1 \over 4}}} = {x^{{7 \over {12}}}}$

Cách trình bày khác:

$\begin{array}{l} \sqrt[4]{{{x^2}\sqrt[3]{x}}} = \sqrt[4]{{{x^2}.{x^{\frac{1}{3}}}}} = \sqrt[4]{{{x^{\frac{7}{3}}}}}\\ = {\left( {{x^{\frac{7}{3}}}} \right)^{\frac{1}{4}}} = {x^{\frac{7}{3}.\frac{1}{4}}} = {x^{\frac{7}{{12}}}} \end{array}$

LG b

$\root 5 \of {{b \over a}\root 3 \of {{a \over b}} } \,\,\,\,\left( {a > 0,b > 0} \right);$

Lời giải chi tiết:

$\root 5 \of {{b \over a}\root 3 \of {{a \over b}} } = {\left( {{b \over a}{{\left( {{a \over b}} \right)}^{{1 \over 3}}}} \right)^{{1 \over 5}}}$

$= {\left( {{{\left( {{a \over b}} \right)}^{ - 1}}{{\left( {{a \over b}} \right)}^{{1 \over 3}}}} \right)^{{1 \over 5}}} = {\left( {{{\left( {{a \over b}} \right)}^{ - {2 \over 3}}}} \right)^{{1 \over 5}}}$

$= {\left( {{a \over b}} \right)^{ - {2 \over {15}}}}$

Cách trình bày khác:

$\begin{array}{l} \sqrt[5]{{\frac{b}{a}.\sqrt[3]{{\frac{a}{b}}}}} = \sqrt[5]{{{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{ - 1}}.{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{\frac{1}{3}}}}}\\ = \sqrt[5]{{{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{ - 1}}.{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{\frac{1}{3}}}}} = \sqrt[5]{{{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{ - \frac{2}{3}}}}}\\ = {\left[ {{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{ - \frac{2}{3}}}} \right]^{\frac{1}{5}}} = {\left( {\frac{a}{b}} \right)^{ - \frac{2}{3}.\frac{1}{5}}}\\ = {\left( {\frac{a}{b}} \right)^{ - \frac{2}{{15}}}} \end{array}$

LG c

$\root 3 \of {{2 \over 3}\root 3 \of {{2 \over 3}} \sqrt {{2 \over 3}} } ;$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l} \sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt {\frac{2}{3}} }}}} = \sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt[3]{{\frac{2}{3}.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{1}{2}}}}}}}\\ = \sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt[3]{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}}} = \sqrt[3]{{\frac{2}{3}{{\left[ {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{3}{2}}}} \right]}^{\frac{1}{3}}}}}\\ = \sqrt[3]{{\frac{2}{3}.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{3}{2}.\frac{1}{3}}}}} = \sqrt[3]{{\frac{2}{3}.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{1}{2}}}}}\\ = \sqrt[3]{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{1 + \frac{1}{2}}}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}\\ = {\left[ {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{3}{2}}}} \right]^{\frac{1}{3}}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{3}{2}.\frac{1}{3}}}\\ = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{2}}} \end{array}$

LG d

$\sqrt {a\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } } :{a^{{{11} \over {16}}}}\,\,\,\,\left( {a > 0} \right).$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l} \sqrt {a\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\\ = \sqrt {a\sqrt {a\sqrt {a.{a^{\frac{1}{2}}}} } } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\\ = \sqrt {a\sqrt {a\sqrt {{a^{\frac{3}{2}}}} } } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\\ = \sqrt {a\sqrt {a{{\left( {{a^{\frac{3}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{2}}}} } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\\ = \sqrt {a\sqrt {a.{a^{\frac{3}{2}.\frac{1}{2}}}} } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\\ = \sqrt {a\sqrt {a.{a^{\frac{3}{4}}}} } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\\ = \sqrt {a\sqrt {{a^{1 + \frac{3}{4}}}} } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\\ = \sqrt {a\sqrt {{a^{\frac{7}{4}}}} } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\\ = \sqrt {a.{{\left( {{a^{\frac{7}{4}}}} \right)}^{\frac{1}{2}}}} :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\\ = \sqrt {a.{a^{\frac{7}{4}.\frac{1}{2}}}} :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\\ = \sqrt {a.{a^{\frac{7}{8}}}} :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\\ = \sqrt {{a^{1 + \frac{7}{8}}}} :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\\ = \sqrt {{a^{\frac{{15}}{8}}}} :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\\ = {\left( {{a^{\frac{{15}}{8}}}} \right)^{\frac{1}{2}}}:{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\\ = {a^{\frac{{15}}{8}.\frac{1}{2}}}:{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\\ = {a^{\frac{{15}}{{16}}}}:{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\\ = {a^{\frac{{15}}{{16}} - \frac{{11}}{{16}}}}\\ = {a^{\frac{1}{4}}} \end{array}$

SGK Toán 12 Nâng cao