Bài 78 trang 127 SGK giải tích 12 nâng cao

111 lượt xem

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Giải phương trình

LG a

$\left( {{1 \over 3}} \right) ^x= x + 4\,;$

Lời giải chi tiết:

Với $x < -1$ ta có:

$\begin{array}{l} VT = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} > {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ - 1}} = 3\\ VP = x + 4 < - 1 + 4 = 3 \end{array}$

Do đó ${\left( {{1 \over 3}} \right)^{ x}} > 3 > x + 4$ nên phương trình không có nghiệm $x < -1$

Với $x > -1$ ta có:

$\begin{array}{l} VT = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ - 1}} = 3\\ VP = x + 4 > - 1 + 4 = 3 \end{array}$

Do đó ${\left( {{1 \over 3}} \right)^x} < {\left( {{1 \over 3}} \right)^{ - 1}} = 3 < x + 4$ nên phương trình không có nghiệm $x > -1$

Dễ thấy với x=-1 thì $VT=3=VP$ .

Vậy $S = \left\{ { - 1} \right\}$

LG b

${\left( {\sin {\pi \over 5}} \right)^x} + {\left( {\cos {\pi \over 5}} \right)^x} = 1.$

Lời giải chi tiết:

Do $0 < \sin {\pi \over 5} < 1$ và $0 < \cos {\pi \over 5} < 1$ nên:

Nếu $x > 2$ thì:

${\left( {\sin {\pi \over 5}} \right)^x} < {\left( {\sin {\pi \over 5}} \right)^2}$

${\left( {\cos {\pi \over 5}} \right)^x} < {\left( {\cos {\pi \over 5}} \right)^2}$

$\Rightarrow {\left( {\sin {\pi \over 5}} \right)^x} + {\left( {\cos {\pi \over 5}} \right)^x}$

$<{\left( {\sin \frac{\pi }{5}} \right)^2} + {\left( {\cos \frac{\pi }{5}} \right)^2}= 1$

Do đó VT < VP nên phương trình không có nghiệm khi $x > 2$

Nếu $x < 2$ thì:

${\left( {\sin {\pi \over 5}} \right)^x} > {\left( {\sin {\pi \over 5}} \right)^2}$

${\left( {\cos {\pi \over 5}} \right)^x} > {\left( {\cos {\pi \over 5}} \right)^2}$

$\Rightarrow {\left( {\sin {\pi \over 5}} \right)^x} + {\left( {\cos {\pi \over 5}} \right)^x}$

$>{\left( {\sin \frac{\pi }{5}} \right)^2} + {\left( {\cos \frac{\pi }{5}} \right)^2}= 1$

Do đó VT > VP nên phương trình không có nghiệm khi $x < 2$

Dễ thấy với x=2 thì VT=VP=1 nên x=2 là nghiệm của phương trình.

Vậy $S = \left\{ 2 \right\}$