Đề bài
Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng \(x=0\) và \(x=2\), biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bơi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ \(\left( {0 \le x \le 2} \right)\) là một nửa hình tròn đường kính \(\sqrt 5 {x^2}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tính diện tích thiết diện nửa hình tròn theo công thức \(S=\dfrac{\pi R^2}{2}\)
- Tính thể tích theo công thức \(V = \int\limits_a^b {S\left( x \right)dx} \)
Lời giải chi tiết
Diện tích của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ \(x\) là:
\(S\left( x \right) = {1 \over 2}\pi {\left( {{{\sqrt 5 } \over 2}{x^2}} \right)^2}\) \( = {1 \over 2}.{{5\pi } \over 4}{x^4} = {{5\pi } \over 8}{x^4}\)
Vậy thể tích của vật thể là :
\(V = \int\limits_0^2 {S\left( x \right)dx = {{5\pi } \over 8}} \int\limits_0^2 {{x^4}dx} \) \(= \left. {{{5\pi } \over 8}.{{{x^5}} \over 5}} \right|_0^2 = 4\pi .\)
