Câu 24
Hàm số f(x)=e13x3−2x2+3x+1
(A) Đồng biến trên mỗi khoảng (−∞,1) và (3,+∞)
(B) Nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞,1) và (3,+∞)
(C) Đồng biến trên khoảng (−∞,1) và nghịch biến trên khoảng (3,+∞)
(D) Nghịch biến trên khoảng (−∞,1) và đồng biến trên khoảng (3,+∞)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
f′(x)=(x2−4x+3)e13x3−2x2+3x+1f′(x)=0⇔x2−4x+3=0⇔[x=1x=3
Ta có bảng biến thiên:
Chọn (A)
Câu 25
Hàm số f(x) = sin2x – 2sinx có giá trị nhỏ nhất là:
(A) −12
(B) 0
(C) -1
(D) −13
Lời giải chi tiết:
Đặt t = sin x; t ∈ [-1, 1]
f(x) = g(t) = t2 – 2t
g’ = 2t – 2 = 0 ⇔ t = 1
g( - 1) = 3
g(1) = -1
Vậy min
Chọn (C)
Câu 26
Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = \sqrt {{x^2} + x} . Khi đó
(A) Đường thẳng y = x + 1 là tiệm cận xiên của (C) (khi x \to + \infty )
(B) Đường thẳng y = x + {1 \over 2} là tiệm cận xiên của (C) (khi x \to + \infty )
(C) Đường thẳng y = -x là tiệm cận xiên của (C) (khi x \to + \infty )
(D) Đồ thị (C) không có tiệm cận xiên (khi x \to + \infty )
Lời giải chi tiết:
\eqalign{ & a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{f(x)} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {1 + {1 \over x}} = 1 \cr & b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\rm{[f(x)}}\, - {\rm{ax]}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\sqrt {{x^2} + x} - x) \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x \over {\sqrt {{x^2} + x} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {1 \over {\sqrt {1 + {1 \over x}} + 1}} = {1 \over 2} \cr}
Vậy y = x + {1 \over 2} là tiệm cận xiên của (C) khi x\to +∞
Chọn B
Câu 27
Đồ thị của hàm số y = x3 – x + 1 tiếp xúc với điểm (1, 1) với
(A) Parabol y = 2x2 -1
(B) Parabol y = x2
(C) Parabol y = -x2 + 2x
(D) Đường thẳng y = 2x + 1
Lời giải chi tiết:
Xét f(x) = x3 – x + 1 ; g(x) = x2
Ta có:
\left\{ \matrix{ f(1) = g(1) = 1 \hfill \cr f'(1) = g'(1) = 2 \hfill \cr} \right.
Nên đồ thị hàm số y = x3 – x + 1 tiếp xúc với (P)
y = x2 tại (1, 1)
Chọn (B)
Câu 28
Cho hai số dương a và b. Đặt
\left\{ \matrix{ X = \ln {{a + b} \over 2} \hfill \cr Y = {{\ln a + \ln b} \over 2} \hfill \cr} \right.
Khi đó:
(A) X > Y
(B) X < Y
(C) X ≥ Y
(D) X ≤ Y
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\eqalign{ & {{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab}\cr& \Rightarrow \ln {{a + b} \over 2} \ge \ln \sqrt {ab} = {1 \over 2}(lna\, + \ln b) \cr & \Rightarrow X \ge Y \cr}
Chọn (C)
Câu 29
Cho hai số không âm a và b.
Đặt
\left\{ \matrix{ X = {e^{{{a + b} \over 2}}} \hfill \cr Y = {{{e^a} + {e^b}} \over 2} \hfill \cr} \right.
Khi đó:
(A) X > Y
(B) X < Y
(C) X ≥ Y
(D) X ≤ Y
Lời giải chi tiết:
Ta có:
Y = {{{e^a} + {e^b}} \over 2} \ge \sqrt {{e^a}.{e^b}} = {e^{{{a + b} \over 2}}} = X
Vậy chọn (D)
Câu 30
Cho (C) là đồ thị của hàm số y = log2x. Ta có thể suy ra đồ thị của hàm số y = log22(x + 3) bằng cách tịnh tiến (C) theo vectơ:
\eqalign{ & (A)\,\overrightarrow v = (3,1) \cr & (B)\,\overrightarrow v = (3, - 1) \cr & (C)\,\overrightarrow v = ( - 3,1) \cr & (D)\,\overrightarrow v = ( - 3, - 1) \cr}
Lời giải chi tiết:
Ta có:
log22(x + 3) = 1 + log2 (x + 3)
y = log2x \to Tịnh tiến trái 3 đơn vị
y = log2 (x + 3) \to Tịnh tiến lên trên 1 đơn vị \to y = 1 + log2 (x + 3)
Chọn (C)
Câu 31
Cho hàm số f(x) = log5(x2 + 1). Khi đó:
(A) f'(1) = {1 \over {2\ln 5}}
(B) f'(1) = {1 \over {\ln 5}}
(C) f'(1) = {3 \over {2\ln 5}}
(D) f'(1) = {2 \over {\ln 5}}
Lời giải chi tiết:
Ta có:
f'(x) = {{2x} \over {{x^2} + 1}}.{1 \over {\ln 5}} \Rightarrow f'(1) = {1 \over {\ln 5}}
Chọn (B)
Câu 32
Biết rằng đồ thị của hàm số y = ax và đồ thị của hàm số y = logbx cắt nhau tại điểm \left( {\sqrt {{2^{ - 1}}} ;\sqrt 2 } \right). Khi đó
(A) a > 1 và b > 1
(B) a > 1 và 0 < b < 1
(C) 0 < a < 1 và b > 1
(D) 0 < a < 1 và 0 < b < 1
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\left\{ \matrix{ {a^{\sqrt {{1 \over 2}} }} = \sqrt 2 \hfill \cr {\log _b}\sqrt {{1 \over 2}} = \sqrt 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {\log _a}\sqrt 2 = \sqrt {{1 \over 2}} > 0 \hfill \cr {\log _b}\sqrt {{1 \over 2}} = \sqrt 2 > 0 \hfill \cr} \right.
\Rightarrow \left\{ \matrix{ a > 1 \hfill \cr 0 < b < 1 \hfill \cr} \right.
Chọn (B)
Câu 33
Cho hàm số f(x) = {{2{x^4} + 3} \over {{x^2}}} . Khi đó
(A) \int {f(x)dx = {{2{x^3}} \over 3}} - {3 \over x} + C
(B) \int {f(x)dx = {{2{x^3}} \over 3}} + {3 \over x} + C
(C) \int {f(x)dx = 2{x^3}} - {3 \over x} + C
(D)\int {f(x)dx = {{2{x^3}} \over 3}} + {3 \over {2x}} + C
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\int {f(x)dx = \int {(2{x^2} + {3 \over {{x^2}}})dx = {{2{x^3}} \over 3} - {3 \over x} + C} }
Chọn (A)
Câu 34
Đẳng thức \int\limits_0^a {\cos (x + {a^2})dx = sina} xảy ra nếu:
(A) \;a – π
\eqalign{ & (B)\,\,a = \sqrt \pi \cr & (C)\,\,a = \sqrt {3\pi } \cr & (D)\,a = \sqrt {2\pi } \cr}
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\eqalign{ & \int\limits_0^a {\cos (x + {a^2})dx = \sin (x + {a^2})|_0^a} \cr&= \sin (a + {a^2}) - \sin {a^2} = \sin a \cr & \Leftrightarrow \sin (a + {a^2}) = \sin {a^2} + \sin a \cr}
Với a = \sqrt {2\pi } \Rightarrow \sin (\sqrt {2\pi } + 2\pi ) = \sin 2\pi + \sin \sqrt {2\pi }
\Leftrightarrow \sin \sqrt {2\pi } = \sin \sqrt {2\pi }
Chọn (D)
Câu 35
Gọi S là tập hợp các số nguyên dương k thỏa mãn điều kiện:
\int\limits_1^e {\ln {k \over x}} dx\,\, < e - 2
Khi đó:
(A) S = {1}
(B) S = {2}
(C) S = {1, 2}
(D) S = Ø
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\int\limits_1^e {\ln {k \over x}} dx = \int\limits_1^e {(\ln k - \ln x)dx = (e - 1)\ln k - \int\limits_1^e {\ln xdx} }
Đặt
\left\{ \matrix{ u = \ln x \hfill \cr dv = dx \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ du = {1 \over x}dx \hfill \cr v = x \hfill \cr} \right.
Do đó:
\int\limits_1^e {\ln xdx = x\ln x|_1^e} - \int\limits_1^e {dx} = e - (e - 1) = 1
Vậy:
\eqalign{ & \int\limits_1^e {\ln {k \over x}} dx < e - 2 \Leftrightarrow (e - 1)\ln k - 1 < e - 2 \cr & \Leftrightarrow {\mathop{\rm lnk}\nolimits} < 1 \Leftrightarrow 0 < k < e \Leftrightarrow k \in {\rm{\{ }}1,\,2\} \cr}
Chọn (C)
Câu 36
Cho số phức z tùy ý. Xét các số phức
\alpha = {z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2};\,\beta = z.\overline z + i\left( {z - \overline z } \right).
Khi đó:
A. α là số thực, β là số thực.
B. α là số thực, β là số ảo.
C. α là số ảo, β là số thực.
D. α là số ảo, β là số ảo.
Lời giải chi tiết:
Giả sử z = a+bi, ta có:
\alpha = {\left( {a + bi} \right)^2} + {\left( {a - bi} \right)^2} = 2{a^2}-2b^2
Vậy α ∈ R
\beta = \left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right) + i\left( {a + bi - a + bi} \right)
= {a^2} + {b^2} - 2b \in\mathbb R
Vậy chọn A.
Câu 37
Cho số phức z tùy ý. Xét các số phức
\left\{ \matrix{ \alpha = {{{i^{2005}} - i} \over {\overline z - 1}} - {z^2} + {(\overline z )^2} \hfill \cr \beta = {{{z^3} - z} \over {z - 1}} + {(\overline z )^2} + \overline z \hfill \cr} \right.
Khi đó:
(A) α là số thực, β là số thực
(B) α là số thực, β là số ảo
(C) α là số ảo, β là số thực
(D) α là số ảo, β là số ảo
Lời giải chi tiết:
Ta có:
{i^{2005}} = i
\Rightarrow \alpha = \frac{{{i^{2005}} - i}}{{\overline z - 1}} - {z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2}
= \frac{{i - i}}{{z - 1}} - {z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2}
= 0 - {z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2}
= {(\overline z )^2} - {z^2} = (\overline z - z)(\overline z + z)
= \left( {a - bi - a - bi} \right)\left( {a - bi + a + bi} \right) = - 2bi.2a = - 4abi
là số ảo.
\begin{array}{l} \beta = \frac{{{z^3} - z}}{{z - 1}} + {\left( {\overline z } \right)^2} + \overline z \\ = \frac{{z\left( {{z^2} - 1} \right)}}{{z - 1}} + {\left( {\overline z } \right)^2} + \overline z \\ = \frac{{z\left( {z - 1} \right)\left( {z + 1} \right)}}{{z - 1}} + {\left( {\overline z } \right)^2} + \overline z \\ = z\left( {z + 1} \right) + {\left( {\overline z } \right)^2} + \overline z \end{array}
= {z^2} + z + {\overline z ^2} + \overline z = {(z + \overline z )^2} - 2z.\overline z + (z + \overline z )
= {\left( {a + bi + a - bi} \right)^2} - 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + \left( {a + bi + a - bi} \right) = 4{a^2} - 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 2a = 2{a^2} - 2{b^2} + 2a
là số thực
Chọn (C)
Câu 38
Nếu môđun của số phức z bằng r (r > 0) thì môdun của số phức (1 – i)2z bằng:
(A) 4r
(B) 2r
(C) r\sqrt 2
(D) r
Lời giải chi tiết:
\begin{array}{l} {\left( {1 - i} \right)^2} = 1 - 2i + {i^2} = - 2i\\ \Rightarrow \left| {{{\left( {1 - i} \right)}^2}} \right| = \left| { - 2i} \right| = 2\\ \Rightarrow \left| {{{\left( {1 - i} \right)}^2}z} \right| = \left| {{{\left( {1 - i} \right)}^2}} \right|.\left| z \right|\\ = 2r \end{array}
Chọn (B)
