Câu 24
Hàm số \(f(x) = {e^{{1 \over 3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 1}}\)
(A) Đồng biến trên mỗi khoảng \((-∞, 1)\) và \((3, + ∞)\)
(B) Nghịch biến trên mỗi khoảng \((-∞, 1)\) và \((3, + ∞)\)
(C) Đồng biến trên khoảng \((-∞, 1)\) và nghịch biến trên khoảng \((3, + ∞)\)
(D) Nghịch biến trên khoảng \((-∞, 1)\) và đồng biến trên khoảng \((3, + ∞)\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& f'(x) = ({x^2} - 4x + 3){e^{{1 \over 3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 1}} \cr
& f'(x) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = 3 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Ta có bảng biến thiên:
Chọn (A)
Câu 25
Hàm số f(x) = sin2x – 2sinx có giá trị nhỏ nhất là:
(A) \( - {1 \over 2}\)
(B) 0
(C) -1
(D) \( - {1 \over 3}\)
Lời giải chi tiết:
Đặt t = sin x; t ∈ [-1, 1]
f(x) = g(t) = t2 – 2t
g’ = 2t – 2 = 0 ⇔ t = 1
g( - 1) = 3
g(1) = -1
Vậy \(\mathop {\min }\limits_{x \in R} f(x) = - 1\)
Chọn (C)
Câu 26
Gọi (C) là đồ thị của hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + x} \) . Khi đó
(A) Đường thẳng y = x + 1 là tiệm cận xiên của (C) (khi \(x \to + \infty \) )
(B) Đường thẳng \(y = x + {1 \over 2}\) là tiệm cận xiên của (C) (khi \(x \to + \infty \) )
(C) Đường thẳng y = -x là tiệm cận xiên của (C) (khi \(x \to + \infty \) )
(D) Đồ thị (C) không có tiệm cận xiên (khi \(x \to + \infty \) )
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{
& a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{f(x)} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {1 + {1 \over x}} = 1 \cr
& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\rm{[f(x)}}\, - {\rm{ax]}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\sqrt {{x^2} + x} - x) \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x \over {\sqrt {{x^2} + x} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {1 \over {\sqrt {1 + {1 \over x}} + 1}} = {1 \over 2} \cr} \)
Vậy \(y = x + {1 \over 2}\) là tiệm cận xiên của (C) khi \(x\to +∞\)
Chọn B
Câu 27
Đồ thị của hàm số y = x3 – x + 1 tiếp xúc với điểm (1, 1) với
(A) Parabol y = 2x2 -1
(B) Parabol y = x2
(C) Parabol y = -x2 + 2x
(D) Đường thẳng y = 2x + 1
Lời giải chi tiết:
Xét f(x) = x3 – x + 1 ; g(x) = x2
Ta có:
\(\left\{ \matrix{
f(1) = g(1) = 1 \hfill \cr
f'(1) = g'(1) = 2 \hfill \cr} \right.\)
Nên đồ thị hàm số y = x3 – x + 1 tiếp xúc với (P)
y = x2 tại (1, 1)
Chọn (B)
Câu 28
Cho hai số dương a và b. Đặt
\(\left\{ \matrix{
X = \ln {{a + b} \over 2} \hfill \cr
Y = {{\ln a + \ln b} \over 2} \hfill \cr} \right.\)
Khi đó:
(A) X > Y
(B) X < Y
(C) X ≥ Y
(D) X ≤ Y
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& {{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab}\cr& \Rightarrow \ln {{a + b} \over 2} \ge \ln \sqrt {ab} = {1 \over 2}(lna\, + \ln b) \cr
& \Rightarrow X \ge Y \cr} \)
Chọn (C)
Câu 29
Cho hai số không âm a và b.
Đặt
\(\left\{ \matrix{
X = {e^{{{a + b} \over 2}}} \hfill \cr
Y = {{{e^a} + {e^b}} \over 2} \hfill \cr} \right.\)
Khi đó:
(A) X > Y
(B) X < Y
(C) X ≥ Y
(D) X ≤ Y
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(Y = {{{e^a} + {e^b}} \over 2} \ge \sqrt {{e^a}.{e^b}} = {e^{{{a + b} \over 2}}} = X\)
Vậy chọn (D)
Câu 30
Cho (C) là đồ thị của hàm số y = log2x. Ta có thể suy ra đồ thị của hàm số y = log22(x + 3) bằng cách tịnh tiến (C) theo vectơ:
\(\eqalign{
& (A)\,\overrightarrow v = (3,1) \cr
& (B)\,\overrightarrow v = (3, - 1) \cr
& (C)\,\overrightarrow v = ( - 3,1) \cr
& (D)\,\overrightarrow v = ( - 3, - 1) \cr} \)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
log22(x + 3) = 1 + log2 (x + 3)
y = log2x \(\to\) Tịnh tiến trái 3 đơn vị
y = log2 (x + 3) \(\to\) Tịnh tiến lên trên 1 đơn vị \(\to\) y = 1 + log2 (x + 3)
Chọn (C)
Câu 31
Cho hàm số f(x) = log5(x2 + 1). Khi đó:
(A) \(f'(1) = {1 \over {2\ln 5}}\)
(B) \(f'(1) = {1 \over {\ln 5}}\)
(C) \(f'(1) = {3 \over {2\ln 5}}\)
(D) \(f'(1) = {2 \over {\ln 5}}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(f'(x) = {{2x} \over {{x^2} + 1}}.{1 \over {\ln 5}} \Rightarrow f'(1) = {1 \over {\ln 5}}\)
Chọn (B)
Câu 32
Biết rằng đồ thị của hàm số y = ax và đồ thị của hàm số y = logbx cắt nhau tại điểm \(\left( {\sqrt {{2^{ - 1}}} ;\sqrt 2 } \right)\). Khi đó
(A) a > 1 và b > 1
(B) a > 1 và 0 < b < 1
(C) 0 < a < 1 và b > 1
(D) 0 < a < 1 và 0 < b < 1
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\left\{ \matrix{
{a^{\sqrt {{1 \over 2}} }} = \sqrt 2 \hfill \cr
{\log _b}\sqrt {{1 \over 2}} = \sqrt 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{\log _a}\sqrt 2 = \sqrt {{1 \over 2}} > 0 \hfill \cr
{\log _b}\sqrt {{1 \over 2}} = \sqrt 2 > 0 \hfill \cr} \right.\)
\(\Rightarrow \left\{ \matrix{
a > 1 \hfill \cr
0 < b < 1 \hfill \cr} \right.\)
Chọn (B)
Câu 33
Cho hàm số \(f(x) = {{2{x^4} + 3} \over {{x^2}}}\) . Khi đó
(A) \(\int {f(x)dx = {{2{x^3}} \over 3}} - {3 \over x} + C\)
(B) \(\int {f(x)dx = {{2{x^3}} \over 3}} + {3 \over x} + C\)
(C) \(\int {f(x)dx = 2{x^3}} - {3 \over x} + C\)
(D)\(\int {f(x)dx = {{2{x^3}} \over 3}} + {3 \over {2x}} + C\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\int {f(x)dx = \int {(2{x^2} + {3 \over {{x^2}}})dx = {{2{x^3}} \over 3} - {3 \over x} + C} } \)
Chọn (A)
Câu 34
Đẳng thức \(\int\limits_0^a {\cos (x + {a^2})dx = sina} \) xảy ra nếu:
\((A) \;a – π\)
\(\eqalign{
& (B)\,\,a = \sqrt \pi \cr
& (C)\,\,a = \sqrt {3\pi } \cr
& (D)\,a = \sqrt {2\pi } \cr} \)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& \int\limits_0^a {\cos (x + {a^2})dx = \sin (x + {a^2})|_0^a} \cr&= \sin (a + {a^2}) - \sin {a^2} = \sin a \cr
& \Leftrightarrow \sin (a + {a^2}) = \sin {a^2} + \sin a \cr} \)
Với \(a = \sqrt {2\pi } \Rightarrow \sin (\sqrt {2\pi } + 2\pi ) = \sin 2\pi + \sin \sqrt {2\pi } \)
\( \Leftrightarrow \sin \sqrt {2\pi } = \sin \sqrt {2\pi } \)
Chọn (D)
Câu 35
Gọi S là tập hợp các số nguyên dương k thỏa mãn điều kiện:
\(\int\limits_1^e {\ln {k \over x}} dx\,\, < e - 2\)
Khi đó:
(A) S = {1}
(B) S = {2}
(C) S = {1, 2}
(D) S = Ø
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\int\limits_1^e {\ln {k \over x}} dx = \int\limits_1^e {(\ln k - \ln x)dx = (e - 1)\ln k - \int\limits_1^e {\ln xdx} }\)
Đặt
\(\left\{ \matrix{
u = \ln x \hfill \cr
dv = dx \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
du = {1 \over x}dx \hfill \cr
v = x \hfill \cr} \right.\)
Do đó:
\(\int\limits_1^e {\ln xdx = x\ln x|_1^e} - \int\limits_1^e {dx} = e - (e - 1) = 1\)
Vậy:
\(\eqalign{
& \int\limits_1^e {\ln {k \over x}} dx < e - 2 \Leftrightarrow (e - 1)\ln k - 1 < e - 2 \cr
& \Leftrightarrow {\mathop{\rm lnk}\nolimits} < 1 \Leftrightarrow 0 < k < e \Leftrightarrow k \in {\rm{\{ }}1,\,2\} \cr} \)
Chọn (C)
Câu 36
Cho số phức z tùy ý. Xét các số phức
\(\alpha = {z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2};\,\beta = z.\overline z + i\left( {z - \overline z } \right).\)
Khi đó:
A. α là số thực, β là số thực.
B. α là số thực, β là số ảo.
C. α là số ảo, β là số thực.
D. α là số ảo, β là số ảo.
Lời giải chi tiết:
Giả sử z = a+bi, ta có:
\(\alpha = {\left( {a + bi} \right)^2} + {\left( {a - bi} \right)^2} = 2{a^2}-2b^2\)
Vậy α ∈ R
\(\beta = \left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right) + i\left( {a + bi - a + bi} \right)\)
\(= {a^2} + {b^2} - 2b \in\mathbb R\)
Vậy chọn A.
Câu 37
Cho số phức z tùy ý. Xét các số phức
\(\left\{ \matrix{
\alpha = {{{i^{2005}} - i} \over {\overline z - 1}} - {z^2} + {(\overline z )^2} \hfill \cr
\beta = {{{z^3} - z} \over {z - 1}} + {(\overline z )^2} + \overline z \hfill \cr} \right.\)
Khi đó:
(A) α là số thực, β là số thực
(B) α là số thực, β là số ảo
(C) α là số ảo, β là số thực
(D) α là số ảo, β là số ảo
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\({i^{2005}} = i \)
\(\Rightarrow \alpha = \frac{{{i^{2005}} - i}}{{\overline z - 1}} - {z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2} \)
\(= \frac{{i - i}}{{z - 1}} - {z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2} \)
\(= 0 - {z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2}\)
\( = {(\overline z )^2} - {z^2} \) \(= (\overline z - z)(\overline z + z)\)
\( = \left( {a - bi - a - bi} \right)\left( {a - bi + a + bi} \right) \) \(= - 2bi.2a = - 4abi\)
là số ảo.
\(\begin{array}{l}
\beta = \frac{{{z^3} - z}}{{z - 1}} + {\left( {\overline z } \right)^2} + \overline z \\
= \frac{{z\left( {{z^2} - 1} \right)}}{{z - 1}} + {\left( {\overline z } \right)^2} + \overline z \\
= \frac{{z\left( {z - 1} \right)\left( {z + 1} \right)}}{{z - 1}} + {\left( {\overline z } \right)^2} + \overline z \\
= z\left( {z + 1} \right) + {\left( {\overline z } \right)^2} + \overline z
\end{array}\)
\( = {z^2} + z + {\overline z ^2} + \overline z \) \(= {(z + \overline z )^2} - 2z.\overline z + (z + \overline z )\)
\( = {\left( {a + bi + a - bi} \right)^2} \) \(- 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \) \(+ \left( {a + bi + a - bi} \right) \) \(= 4{a^2} - 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 2a\) \( = 2{a^2} - 2{b^2} + 2a\)
là số thực
Chọn (C)
Câu 38
Nếu môđun của số phức z bằng r (r > 0) thì môdun của số phức (1 – i)2z bằng:
(A) 4r
(B) 2r
(C) \(r\sqrt 2 \)
(D) r
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
{\left( {1 - i} \right)^2} = 1 - 2i + {i^2} = - 2i\\
\Rightarrow \left| {{{\left( {1 - i} \right)}^2}} \right| = \left| { - 2i} \right| = 2\\
\Rightarrow \left| {{{\left( {1 - i} \right)}^2}z} \right| = \left| {{{\left( {1 - i} \right)}^2}} \right|.\left| z \right|\\
= 2r
\end{array}\)
Chọn (B)
