Cho hàm số: \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1\)
LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định \(D=\mathbb R\)
\(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = - 1 \hfill \cr} \right.\)
Hàm số đồng biến trên khoảng: \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \( \left( {1; + \infty } \right)\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-1;1)\)
+) Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \(x=-1;y(-1)=3\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1; y(1)=-1\)
+) Giới hạn:
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = - \infty \cr} \)
Bảng biến thiên:
Đồ thị
Đồ thị giao trục \(Oy\) tại điểm \((0;1)\)
Hàm số đồ thị nhận \(I(0;1)\) làm tâm đối xứng
LG b
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn U của nó.
Lời giải chi tiết:
\(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3\)
\(f''\left( x \right)=6x\)
\(f''\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0; f'(0)=-3\)
\(f\left( 0 \right) = 1\). Điểm uốn U(0;1)
Phương tiếp tuyến của (C) tại U là:
\(y - 1 = f'\left( 0 \right)\left( {x - 0} \right)\) \( \Leftrightarrow y = - 3x + 1\)
LG c
Gọi \(\left( {{d_m}} \right)\) là đường thẳng đi qua điểm U và có hệ số góc m. Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right)\) cắt đồ thị của hàm số đã cho tại ba điểm phân biệt.
Lời giải chi tiết:
Phương trình đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right)\) là y = mx +1.
Hoành độ giao điểm của đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right)\) và đường cong (C) là nghiệm của phương trình
\({x^3} - 3x + 1 = mx + 1\) \( \Leftrightarrow {x^3} - \left( {m + 3} \right)x = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
{x^2} = m + 3 \,\,(2)\hfill \cr} \right.\)
\(\left( {{d_m}} \right)\) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có 3 nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \left( 2 \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác 0, tức \(m + 3 > 0 \Leftrightarrow m > - 3\)
Chú ý:
ĐK tổng quát các em có thể dùng:
(1) có 3 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( 2 \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác 0
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\f\left( 0 \right) \ne 0\end{array} \right.\)
