Cho hàm số: f(x)=x3−3x+1
LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định D=R
f′(x)=3x2−3
f′(x)=0⇔[x=1x=−1
Hàm số đồng biến trên khoảng: (−∞;−1) và (1;+∞)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1;1)
+) Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x=−1;y(−1)=3
Hàm số đạt cực tiểu tại x=1;y(1)=−1
+) Giới hạn:
lim
Bảng biến thiên:
Đồ thị
Đồ thị giao trục Oy tại điểm (0;1)
Hàm số đồ thị nhận I(0;1) làm tâm đối xứng
LG b
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn U của nó.
Lời giải chi tiết:
f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3
f''\left( x \right)=6x
f''\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0; f'(0)=-3
f\left( 0 \right) = 1. Điểm uốn U(0;1)
Phương tiếp tuyến của (C) tại U là:
y - 1 = f'\left( 0 \right)\left( {x - 0} \right) \Leftrightarrow y = - 3x + 1
LG c
Gọi \left( {{d_m}} \right) là đường thẳng đi qua điểm U và có hệ số góc m. Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng \left( {{d_m}} \right) cắt đồ thị của hàm số đã cho tại ba điểm phân biệt.
Lời giải chi tiết:
Phương trình đường thẳng \left( {{d_m}} \right) là y = mx +1.
Hoành độ giao điểm của đường thẳng \left( {{d_m}} \right) và đường cong (C) là nghiệm của phương trình
{x^3} - 3x + 1 = mx + 1 \Leftrightarrow {x^3} - \left( {m + 3} \right)x = 0
\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr {x^2} = m + 3 \,\,(2)\hfill \cr} \right.
\left( {{d_m}} \right) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có 3 nghiệm phân biệt
\Leftrightarrow \left( 2 \right) có hai nghiệm phân biệt khác 0, tức m + 3 > 0 \Leftrightarrow m > - 3
Chú ý:
ĐK tổng quát các em có thể dùng:
(1) có 3 nghiệm phân biệt \Leftrightarrow \left( 2 \right) có hai nghiệm phân biệt khác 0
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\f\left( 0 \right) \ne 0\end{array} \right.
