Câu 2. Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A(2; 0; 0), A’(6; 0; 0), B(0; 3; 0), B’(0 ;4; 0), C(0; 0; 4), C’(0; 0; 3).
LG a
Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, A’, B, C. Chứng minh rằng B’ và C’ cũng nằm trên mặt cầu đó.
Lời giải chi tiết:
Gọi phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, A’, B, C là x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+d=0
(a2+b2+c2>0,a2+b2+c2>d)
Khi đó tọa độ các điểm A, A’, B, C phải thỏa mãn phương trình mặt cầu nên ta có hệ:
{4−4a+d=036−12a+d=09−6b+d=016−8c+d=0⇔{a=4b=72c=72d=12(tm)
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:(S):x2+y2+z2−8x−7y−7z+12=0(∗).
Thay tọa độ của điểm B’ vào (*) ta có: 16−7.4+12=0⇒B′∈(S)
Thay tọa độ của điểm C’ vào (*) ta có: 9−7.3+12=0⇒C′∈(S).
LG b
Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC, trọng tâm G của tam giác A’B’C’ cùng nằm trên một đường thẳng đi qua O. Viết phương trình đường thẳng đó.
Lời giải chi tiết:
Gọi G là trọng tâm của tam giác A’B’C’ ta có: G(2,43,1).
⇒→OG=(2,43,1)=13(6,4,3).
Đường thẳng d đi qua O, G nhận →u=(6;4;3) là 1 vectơ chỉ phương.
Phương trình tham số của d là
{x=6ty=4tz=3t
Gọi H(x, y, z) là trực tâm của tam giác ABC ta có:
{→AH.→BC=0→BH.→AC=0⇔{(x−2,y,z).(0,−3,4)=0(x,y−3,z).(−2,0,4)=0⇔{−3y+4z=0−2x+4z=0⇔2x=3y=4z.
Đặt 2x=3y=4z=12a⇒x=6a,y=4a,z=3a⇒H(6a,4a,3a)
Rõ ràng khi t = a thì H∈(d)⇒O, H, G cùng nằm trên đường thẳng có phương trình
{x=6ty=4tz=3t
LG c
Tính khoảng cách từ điểm O tới giao tuyến của mp(ABC’) và mp(A’B’C).
Lời giải chi tiết:
Ta có :
→AB=(−2;3;0),→AC=(−2;0;3)⇒[→AB,→AC]=(|3003|;|0−23−2|;|−23−20|)=(9;6;6)=3(3;2;2)
Mặt phẳng (ABC′) đi qua A và nhận →n(3;2;2) làm vectơ pháp tuyến nên (A’B’C’) có phương trình
2(x−6)+3(y−0)+3(z−0)=0⇔2x+3y+3z−12=0
Giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC’) và (A’B’C’) ;à tập hợp tất cả các điểm thỏa mãn hệ phương trình:
{3x+2y+2z−6=02x+3y+3z−12=0⇔{x=−65y=tz=245−t
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC’) và (A’B’C’) có phương trình Δ:{x=−65y=tx=245−t
Δ đi qua điểm M(−65;0;245) và có vectơ chỉ phương →uΔ=(0;1;−1).
d(O;Δ)=|[→OM,→uΔ]||→uΔ|=√(−245)2+(−65)2+(−65)2√02+12+(−1)2=185
