Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
LG a
y=√x2−1;
Lời giải chi tiết:
TXĐ: D=R∖(−∞;1]∪[1;+∞)
* Tiệm cận xiên khi x→+∞
Ta có: a=limx→+∞√x2−1x=limx→+∞x√1−1x2x = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {1 - {1 \over {{x^2}}}} = 1
b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 1} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - 1 - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - 1} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{ - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 1} + x}} = 0
Vậy đường thẳng y = x là tiệm cận xiên của đồ thị khi x \to + \infty .
* Tiệm cận xiên khi x \to - \infty
a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^2} - 1} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left| x \right|\sqrt {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{\sqrt {{x^2} - 1} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - x\sqrt {1 - {1 \over {{x^2}}}} } \over x} = - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \sqrt {1 - {1 \over {{x^2}}}} = - 1
b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 1} + x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} - 1 - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - 1} - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 1} - x}} = 0
Vậy đường thẳng y = -x là tiệm cận xiên của đồ thị (khi x \to - \infty ).
LG b
y = 2x + \sqrt {{x^2} - 1}
Lời giải chi tiết:
TXĐ: D =\mathbb R\backslash ( - \infty ;1{\rm{]}} \cup {\rm{[}}1; + \infty )
* Tiệm cận xiên khi x \to + \infty
Ta có: a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2 + {{\sqrt {{x^2} + 1} } \over x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2 + \sqrt {1 - {1 \over {{x^2}}}} } \right) = 3
b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - 3x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {2x + \sqrt {{x^2} - 1} - 3x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 1} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{ - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 1} + x}} = 0
Vậy đường thẳng y = 3x là tiệm cận xiên của đồ thị (khi x \to + \infty ).
* Tiệm cận xiên khi x \to - \infty
a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2 + {{\sqrt {{x^2} + 1} } \over x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2 - \sqrt {1 - {1 \over {{x^2}}}} } \right) = 1
b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {2x + \sqrt {{x^2} - 1} - x} \right]
= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 1} + x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 1} - x}} = 0
Vậy đường thẳng y = x là tiệm cận xiên của đồ thị (khi x \to - \infty )
LG c
y = x + \sqrt {{x^2} + 1}
Lời giải chi tiết:
TXĐ: D =\mathbb R
* Tiệm cận xiên khi x \to + \infty
\eqalign{ & a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {y \over x} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 + {{\sqrt {{x^2} + 1} } \over x}} \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 + \sqrt {1 + {1 \over {{x^2}}}} } \right) = 2 \cr & b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - 2x} \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {1 \over {\sqrt {{x^2} + 1} + x}} = 0 \cr}
Đường thẳng y = 2x là tiệm cận xiên (khi x \to + \infty )
* Tiệm cận khi x \to - \infty
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {1 \over {x - \sqrt {{x^2} - 1} }} = 0
Đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang (khi x \to - \infty )
LG d
y = \sqrt {{x^2} + x + 1} .
Lời giải chi tiết:
TXĐ: D =\mathbb R
* a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + x + 1} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} = 1
\eqalign{ & b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - x} \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x + 1} - x} \right) \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x + 1} \over {\sqrt {{x^2} + x + 1} + x}} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{1 + {1 \over x}} \over {\sqrt {1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} }+1} = {1 \over 2} \cr}
Đường thẳng y = x + {1 \over 2} là tiệm cận xiên (khi x \to + \infty )
* a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^2} + x + 1} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - x\sqrt {1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } -\sqrt {1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} = - 1
b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {y + x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x + 1} + x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{x + 1} \over {\sqrt {{x^2} + x + 1} - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{1 + {1 \over x}} \over { - \sqrt {1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} }-1} = - {1 \over 2}
Đường thẳng y = - x - {1 \over 2} là tiệm cận xiên (khi x \to - \infty )
