Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng:
LG a
Đi qua ba điểm \(M\left( {2;0; - 1} \right)\,\,;\,\,N\left( {1; - 2;3} \right)\,\,;\,\,P\left( {0;1;2} \right)\);
Phương pháp giải:
MP đi qua 3 điểm M, N, P thì đi qua M và có VTPT cùng phương với véc tơ \(\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] \)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 1; - 2;4} \right),\)\(\overrightarrow {MP} = \left( { - 2;1;3} \right)\).
Suy ra \(\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( { - 10; - 5; - 5} \right) \)\(= - 5\left( {2;1;1} \right)\).
Chọn vectơ pháp tuyến của mp(MNP) là \(\overrightarrow n = \left( {2;1;1} \right)\).
Mp(MNP) đi qua \(M\left( {2;0; - 1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2;1;1} \right)\) nên có phương trình là:
\(2\left( {x - 2} \right) + 1\left( {y - 0} \right) + 1\left( {z + 1} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow 2x + y + z - 3 = 0\)
LG b
Đi qua hai điểm \(A\left( {1;1; - 1} \right)\,\,;\,\,B\left( {5;2;1} \right)\) và song song với trục Oz ;
Phương pháp giải:
MP đi qua hai điểm A,B và song song Oz thì có VTPT cùng phương với \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow k } \right]\)
Lời giải chi tiết:
Mp(P) đi qua A, B và song song với trục Oz có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) vuông góc vói \(\overrightarrow {AB} = \left( {4;1;2} \right)\) và vuông góc với \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\) nên:
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow k } \right] \) \(= \left( {\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,2 \hfill \cr
0\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
2\,\,\,\,\,\,4 \hfill \cr
1\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
4\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr
0\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|} \right) \) \(= \left( {1; - 4;0} \right)\)
(P) qua \(A\left( {1;1; - 1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 4;0} \right)\) nên (P) có phương trình:
\(1\left( {x - 1} \right) - 4\left( {y - 1} \right) + 0\left( {z + 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x - 4y + 3 = 0\)
Cách khác:
Vì mặt phẳng cần tìm song song với Oz nếu có phương trình dạng Ax + By + D = 0, với A2 + B2 ≠ 0
Vì mặt phẳng này đi qua A(1, 1, -1) và B(5, 2, 1) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}A + B + D = 0\\5A + 2B + D = 0\end{array} \right.\)
⇒ 4A + B = 0, nếu A = 0 thì B = 0 (loại)
Vậy A ≠ 0, ta chọn A = 1 ⇒ B = -4, và D = 3
Vậy phương trình mặt phẳng là: x – 4y + 3 = 0
LG c
Đi qua điểm (3; 2; -1) và song song với mặt phẳng có phương trình x –5y + z = 0;
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\): \(x - 5y + z = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 5;1} \right)\).
\(Mp\left( \beta \right)\) qua \(A\left( {3;2; - 1} \right)\) song song với \(mp\left( \alpha \right)\) nên \(\left( \beta \right)\) có cùng vectơ pháp tuyến .
Do đó \(\left( \beta \right)\): \(\left( {x - 3} \right) - 5\left( {y - 2} \right) + \left( {z + 1} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow x - 5y + z + 8 = 0\)
Cách khác:
Vì mặt phẳng cần tìm song song với mp: x – 5y + z = 0, nên nó có phương trình dạng: x – 5y + z + D = 0, mà mặt phẳng này lại đi qua điểm (3, 2, -1) nên ta có:
3 - 5.2 + (-1) + D = 0 ⇔ D = 8
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là : x - 5y + z + 8 = 0
LG d
Đi qua hai điểm A(0 ; 1 ; 1), B(- 1 ; 0 ; 2) và vuông góc với mặt phẳng x – y + z – 1 = 0 ;
Phương pháp giải:
MP đi qua hai điểm A,B và vuông góc \(\left( \alpha \right)\) thì nhận \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} } \right]\) làm VTPT.
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1;1} \right)\)
\(Mp\left( \alpha \right)\): \(x - y + z + 1 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow m = \left( {1; - 1;1} \right)\).
\(Mp\left( \beta \right)\) đi qua A, B và vuông góc với \(mp\left( \alpha \right)\) nên vectơ pháp tuyến của \(\left( \beta \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow {AB} \) và vuông góc với \(\overrightarrow m \) nên ta có thể chọn:
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow m } \right] = \left( {0;2;2} \right)\)
Vậy (P): \(2\left( {y - 1} \right) + 2\left( {z - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow y + z - 2 = 0\)
LG e
Đi qua điểm M(a ; b ; c) (với \(abc \ne 0\)) và song song với một mặt phẳng toạ độ ;
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng đi qua \(M\left( {a,b,c} \right)\) song song với mp(Oxy) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\) nên có phương trình: \(1\left( {z - c} \right) = 0 \Leftrightarrow z - c = 0\)
Tương tự mặt phẳng đi qua \(M\left( {a,b,c} \right)\) song song với mp(Oyz) có phương trình x – a = 0; mặt phẳng đi qua \(M\left( {a,b,c} \right)\) song song với mp(Oxz) có phương trình y – b = 0.
LG g
Đi qua điểm G(1 ; 2 ; 3) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC ;
Lời giải chi tiết:
Giả sử \(A\left( {a;0;0} \right)\,,\,B\left( {0,b,0} \right)\,,\,C\left( {0,0,c} \right)\).
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên
\({{a + 0 + 0} \over 3} = 1;{{0 + b + 0} \over 3} = 2;{{0 + 0 + c} \over 3} = 3\) \( \Rightarrow a = 3;b = 6;c = 9\)
Vậy mp(ABC): \({x \over 3} + {y \over 6} + {z \over 9} = 1\).
LG h
Đi qua điểm H(2 ; 1 ; 1) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC.
Lời giải chi tiết:
Tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nên H là trực tâm \(\Delta ABC\) khi và chỉ khi \(OH \bot mp\left( {ABC} \right)\).
Vậy mp(ABC) đi qua H va có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {OH} = \left( {2;1;1} \right)\) nên có phương trình :
\(2\left( {x - 2} \right) + \left( {y - 1} \right) + \left( {z - 1} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow 2x + y + z - 6 = 0\)
Cách khác:
Giả sử 3 giao điểm A, B, C của mặt phẳng với 3 trục tọa độ là: A(a, 0, 0); B(0, b, 0); C(0, 0, c).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( { - a;b;0} \right),\overrightarrow {CH} = \left( {2;1;1 - c} \right)\\\overrightarrow {BC} = \left( {0; - b;c} \right),\overrightarrow {AH} = \left( {2 - a;1;1} \right)\end{array}\)
Vì H(2, 1, 1) là trực tâm ΔABC nên \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CH} = 0\\\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH} = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a + b = 0\\b - c = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow b = c = 2a\)
Khi đó, phương trình mặt phẳng (ABC) viết theo đoạn chắn là:
\(\frac{x}{a} + \frac{y}{{2a}} + \frac{z}{{2a}} = 1\) \( \Leftrightarrow 2x + y + z = 2a\)
Mặt khác, mặt phẳng này đi qua H(2, 1, 1) nên ta có:
2.2 + 1 + 1 = 2a <=> a = 3
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: 2x+y+z-6=0
