Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng:
LG a
Đi qua ba điểm M(2;0;−1);N(1;−2;3);P(0;1;2);
Phương pháp giải:
MP đi qua 3 điểm M, N, P thì đi qua M và có VTPT cùng phương với véc tơ [→MN,→MP]
Lời giải chi tiết:
Ta có: →MN=(−1;−2;4),→MP=(−2;1;3).
Suy ra [→MN,→MP]=(−10;−5;−5)=−5(2;1;1).
Chọn vectơ pháp tuyến của mp(MNP) là →n=(2;1;1).
Mp(MNP) đi qua M(2;0;−1) và có vectơ pháp tuyến →n=(2;1;1) nên có phương trình là:
2(x−2)+1(y−0)+1(z+1)=0 ⇔2x+y+z−3=0
LG b
Đi qua hai điểm A(1;1;−1);B(5;2;1) và song song với trục Oz ;
Phương pháp giải:
MP đi qua hai điểm A,B và song song Oz thì có VTPT cùng phương với [→AB,→k]
Lời giải chi tiết:
Mp(P) đi qua A, B và song song với trục Oz có vectơ pháp tuyến →n vuông góc vói →AB=(4;1;2) và vuông góc với →k=(0;0;1) nên:
→n=[→AB,→k] =(|1201|;|2410|;|4100|) =(1;−4;0)
(P) qua A(1;1;−1) và có vectơ pháp tuyến →n=(1;−4;0) nên (P) có phương trình:
1(x−1)−4(y−1)+0(z+1)=0 ⇔x−4y+3=0
Cách khác:
Vì mặt phẳng cần tìm song song với Oz nếu có phương trình dạng Ax + By + D = 0, với A2 + B2 ≠ 0
Vì mặt phẳng này đi qua A(1, 1, -1) và B(5, 2, 1) nên ta có: {A+B+D=05A+2B+D=0
⇒ 4A + B = 0, nếu A = 0 thì B = 0 (loại)
Vậy A ≠ 0, ta chọn A = 1 ⇒ B = -4, và D = 3
Vậy phương trình mặt phẳng là: x – 4y + 3 = 0
LG c
Đi qua điểm (3; 2; -1) và song song với mặt phẳng có phương trình x –5y + z = 0;
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng (α): x−5y+z=0 có vectơ pháp tuyến →n=(1;−5;1).
Mp(β) qua A(3;2;−1) song song với mp(α) nên (β) có cùng vectơ pháp tuyến .
Do đó (β): (x−3)−5(y−2)+(z+1)=0 ⇔x−5y+z+8=0
Cách khác:
Vì mặt phẳng cần tìm song song với mp: x – 5y + z = 0, nên nó có phương trình dạng: x – 5y + z + D = 0, mà mặt phẳng này lại đi qua điểm (3, 2, -1) nên ta có:
3 - 5.2 + (-1) + D = 0 ⇔ D = 8
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là : x - 5y + z + 8 = 0
LG d
Đi qua hai điểm A(0 ; 1 ; 1), B(- 1 ; 0 ; 2) và vuông góc với mặt phẳng x – y + z – 1 = 0 ;
Phương pháp giải:
MP đi qua hai điểm A,B và vuông góc (α) thì nhận [→AB,→n(α)] làm VTPT.
Lời giải chi tiết:
Ta có →AB=(−1;−1;1)
Mp(α): x−y+z+1=0 có vectơ pháp tuyến →m=(1;−1;1).
Mp(β) đi qua A, B và vuông góc với mp(α) nên vectơ pháp tuyến của (β) vuông góc với →AB và vuông góc với →m nên ta có thể chọn:
→n=[→AB;→m]=(0;2;2)
Vậy (P): 2(y−1)+2(z−1)=0 ⇔y+z−2=0
LG e
Đi qua điểm M(a ; b ; c) (với abc≠0) và song song với một mặt phẳng toạ độ ;
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng đi qua M(a,b,c) song song với mp(Oxy) có vectơ pháp tuyến là →k=(0;0;1) nên có phương trình: 1(z−c)=0⇔z−c=0
Tương tự mặt phẳng đi qua M(a,b,c) song song với mp(Oyz) có phương trình x – a = 0; mặt phẳng đi qua M(a,b,c) song song với mp(Oxz) có phương trình y – b = 0.
LG g
Đi qua điểm G(1 ; 2 ; 3) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC ;
Lời giải chi tiết:
Giả sử A(a;0;0),B(0,b,0),C(0,0,c).
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên
a+0+03=1;0+b+03=2;0+0+c3=3 ⇒a=3;b=6;c=9
Vậy mp(ABC): x3+y6+z9=1.
LG h
Đi qua điểm H(2 ; 1 ; 1) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC.
Lời giải chi tiết:
Tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nên H là trực tâm ΔABC khi và chỉ khi OH⊥mp(ABC).
Vậy mp(ABC) đi qua H va có vectơ pháp tuyến là →OH=(2;1;1) nên có phương trình :
2(x−2)+(y−1)+(z−1)=0 ⇔2x+y+z−6=0
Cách khác:
Giả sử 3 giao điểm A, B, C của mặt phẳng với 3 trục tọa độ là: A(a, 0, 0); B(0, b, 0); C(0, 0, c).
Ta có:
→AB=(−a;b;0),→CH=(2;1;1−c)→BC=(0;−b;c),→AH=(2−a;1;1)
Vì H(2, 1, 1) là trực tâm ΔABC nên {→AB.→CH=0→BC.→AH=0 ⇔{−2a+b=0b−c=0 ⇒b=c=2a
Khi đó, phương trình mặt phẳng (ABC) viết theo đoạn chắn là:
xa+y2a+z2a=1 ⇔2x+y+z=2a
Mặt khác, mặt phẳng này đi qua H(2, 1, 1) nên ta có:
2.2 + 1 + 1 = 2a <=> a = 3
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: 2x+y+z-6=0
