Cho hàm số f(x)=x3−3x2+1.
LG a
Xác định điểm I thuộc đồ thị (C) của hàm số đã cho biết rằng hoành độ của điểm I là nghiệm của phương trình f″.
Lời giải chi tiết:
f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x;f''\left( x \right) = 6x - 6
f''\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 6x - 6 = 0
\Leftrightarrow x = 1;f\left( 1 \right) = - 1
Vậy I\left( {1; - 1} \right)
LG b
Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép định tiến theo vectơ \overrightarrow {OI} và viết phương trình của đường cong (C) đối với hệ tọa độ IXY. Từ đó suy ra rằng I là tâm đối xứng của đường cong (C).
Lời giải chi tiết:
Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo \overrightarrow {OI} là
\left\{ \matrix{ x = X + 1 \hfill \cr y = Y - 1 \hfill \cr} \right.
Phương trình đường cong (C) đối với hệ tọa độ IXY là
\eqalign{ & Y - 1 = {\left( {X + 1} \right)^3} - 3{\left( {X + 1} \right)^2} + 1 \cr &= {X^3} + 3{X^2} + 3X + 1 - 3{X^2} - 6X - 3 + 1 \cr& = {X^3} - 3X - 1\cr&\Leftrightarrow Y = {X^3} - 3X \cr}
Vì đây là một hàm số lẻ nên đồ thị (C) của nó nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng.
LG c
Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm I đối với hệ tọa độ Oxy. Chứng minh rằng trên khoảng \left( { - \infty ;1} \right) đường cong (C) nằm phía dưới tiếp tuyến tại I của (C) và trên khoảng \left( {1; + \infty } \right) đường cong (C) nằm phía trên tiếp tuyến đó.
Phương pháp giải:
Trên khoảng \left( { - \infty ;1} \right), đường cong (C) nằm phía dưới tiếp tuyến y = ax + b nếu f\left( x \right) < ax + b với mọi x<1.
Lời giải chi tiết:
Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm I(1;-1) đối với hệ trục tọa độ Oxy là:
y - f(1) = f' (1)(x-1) với f’(1) = -3; f(1) = -1
hay y + 1 = - 3\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow y = - 3x + 2
Đặt g\left( x \right) = - 3x + 2
f\left( x \right) - g\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 1 - \left( { - 3x + 2} \right) = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 = {\left( {x - 1} \right)^3}
Vì f\left( x \right) - g\left( x \right)<0 với x<1 và f\left( x \right) - g\left( x \right)>0 với x>1
Do đó trên khoảng \left( { - \infty ;1} \right), (C) nằm phía dưới tiếp tuyến tại I của (C) và trên khoảng \left( {1; + \infty } \right), (C) nằm phía trên tiếp tuyến đó.
