Câu 1
Mỗi đỉnh của hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất
(A) Năm cạnh (B) Bốn cạnh
(C) Ba cạnh (D) Hai cạnh.
Lời giải chi tiết:
Chọn C
Vì không có hình đa diện nào mà mỗi đỉnh là đỉnh chung của một cạnh hoặc hai cạnh.
Mà tứ diện là hình đa diện có mỗi đỉnh là đỉnh chung của 3 cạnh nên mỗi đỉnh của hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất 3 cạnh.
Câu 2
Cho khối chóp có đáy là \(n\)-giác. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ?
(A) Số cạnh của khối chóp bằng \(n + 1\) ;
(B) Số mặt của khối chóp bằng \(2n\) ;
(C) Số đỉnh của khối chóp bằng \(2n + 1\) ;
(D) Số mặt của khối chóp bằng số đỉnh của nó.
Lời giải chi tiết:
Chọn D
Số cạnh của khối chóp là 2n nên A sai.
Số mặt của khối chóp bằng n+1 nên B sai.
Số đỉnh của khối chóp là n + 1 nên C sai.
Số mặt của khối chóp bằng số đỉnh của nó.
Câu 3
Phép đối xứng qua mp \((P) \) biến đường thẳng \(d\) thành chính nó khi và chỉ khi:
(A) \(d\) song song với \((P)\)
(B) \(d\) nằm trên \((P)\)
(C) \(d \bot \left( P \right)\)
(D) \(d\) nằm trên \((P)\) hoặc \(d \bot \left( P \right)\)
Lời giải chi tiết:
Chọn D
Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến đường thẳng d thành chính nó khi và chỉ khi d nằm trên (P) hoặc \(d \bot \left( P \right)\).
Câu 4
Cho hai đường thẳng \(d\) và \(d’\) cắt nhau. Có bao nhiêu phép đối xứng qua mặt phẳng biến \(d\) thành \(d’\)?
(A) Có một (B) Có hai
(C) Không có (D) Có vô số
Lời giải chi tiết:
Chọn B
Có hai phép đối xứng qua mặt phẳng biến \(d\) thành \(d’\), đó là:
Phép đối xứng qua mặt phẳng chứa đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau d, d’ và vuông góc với mp (d, d’) biến d thành d’. Vì hai đường thẳng cắt nhau d, d’ có hai đường phân giác nên có hai phép đối xứng qua mặt phẳng biến d thành d’.
Câu 5
Có hai đường thẳng phân biệt \(d\) và \(d’\) đồng phẳng. Có bao nhiêu phép đối xứng qua mặt phẳng biến \(d\) thành \(d’\)?
(A) Không có (B) Có một
(C) Có hai (D) Có một hoặc hai
Lời giải chi tiết:
Chọn D.
Vì d, d’ phân biệt và đồng phẳng nên d // d’ hoặc d cắt d’.
- Nếu d // d’ thì có 1 phép đối xứng qua mặt phẳng biến d thành d’, (đó là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (d, d’) và cách đều hai đường thẳng d và d’.
- Nếu d cắt d’, có 2 phép đối xứng qua mặt phẳng biến d thành d’ (xem câu 4).
Câu 6
Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
(A) Một (B) Hai (C) Ba (D) Bốn
Lời giải chi tiết:
Chọn D
Hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có \(4\) mặt phẳng đối xứng là: mp \((SAC)\), mp \((SBD)\), mp trung trực của đoạn \(AB\) và mặt phẳng trung trực của đoạn \(AD\).
Câu 7
Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình vuông) có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
(A) Một (B) Hai (C) Ba (D) Bốn
Lời giải chi tiết:
Hình thoi có hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải hình vuông) có các mặt phẳng đối xứng là: (ACC’A’), (BDD’B’), mặt phẳng trung trực của cạnh AA’.
Chọn C.
Câu 8
Cho phép vị tự tâm \(O\) biến điểm \(A\) thành điểm \(B\), biết rằng \(OA=2OB\). Khi đó tỉ số phép vị tự là bao nhiêu?
(A) \(2\) (B) \(– 2\) (C) \( \pm {1 \over 2}\) (D) \({1 \over 2}\)
Lời giải chi tiết:
Giả sử \({V_{(O,k)}}:A \to B\) thì \(\overrightarrow {OB} = k\overrightarrow {OA} \)
\(\Rightarrow OB = \left| k \right|OA \)\(\Rightarrow OA = \frac{1}{{\left| k \right|}}OB \) \(\Rightarrow \frac{1}{{\left| k \right|}} = 2\) \( \Leftrightarrow \left| k \right| = \frac{1}{2} \Leftrightarrow k = \pm \frac{1}{2}\)
Chọn C.
Câu 9
Cho hai đường thẳng song song \(d\) và \(d’\) và một điểm \(O\) không nằm trên chúng. Có bao nhiêu phép vị tự tâm \(O\) biến \(d\) thành \(d’\)?
(A) Có một (B) Không có
(C) Có hai (D) Có một hoặc không có.
Lời giải chi tiết:
- Nếu O ∈ mp(d,d’) thì có 1 phép vị tự biến d thành d’.
- Nếu O ∉ mp(d, d’) thì không có phép vị tự tâm O nào biến d thành d.
Chọn D.
Câu 10
Khối tám mặt đều thuộc loại:
(A) \(\left\{ {3;3} \right\}\) (B) \(\left\{ {4;3} \right\}\)
(C) \(\left\{ {5;3} \right\}\) (D) \(\left\{ {3;4} \right\}\)
Lời giải chi tiết:
Khối 8 mặt đều có mỗi mặt là tam giác đều, mỗi đỉnh là đỉnh chung của 4 cạnh nên là đa diện đều loại {3, 4}.
Chọn D.
Câu 11
Khối hai mươi mặt đều thuộc loại:
(A) \(\left\{ {3;4} \right\}\) (B) \(\left\{ {3;5} \right\}\)
(C) \(\left\{ {4;3} \right\}\) (D) \(\left\{ {4;5} \right\}\)
Lời giải chi tiết:
Khối 20 mặt đều có: mỗi mặt là tam giác đều, mỗi đỉnh chung của 5 cạnh nên đa diện đều loại {3, 5}.
Chọn B
Câu 12
Nếu ba kích thước của một khối hộp chữ nhật tăng lên \(k\) lần thì thể tích của nó tăng lên:
(A) \(k\) lần (B) \({k^2}\) lần
(C) \({k^3}\) lần (D) \(3{k^3}\) lần
Lời giải chi tiết:
\(a' = ka,b' = kb,c' = kc\)
\(V' = a'b'c' = {k^3}abc = {k^3}V\).
Chọn C.
Câu 13
Tổng diện tích các mặt của một hình lập phương bằng \(96\). Thể tích của khối lập phương đó là:
(A) \(64\) (B) \(91\) (C) \(84\) (D) \(48\)
Lời giải chi tiết:
Hình lập phương có 6 mặt, mỗi mặt hình vuông cạnh a.
Diện tích 1 mặt là S = a2
Tổng diện tích các mặt của hình lập phương là \(6{a^2} = 96 \Rightarrow a = 4\)
Thể tích khối lập phương đó là \(V = {a^3} = 64\).
Chọn A.
Câu 14
Ba kích thước của một khối hộp chữ nhật làm thành một cấp số nhân có công bội là \(2\). Thể tích hình hộp đã cho là \(1728\). Khi đó các kích thước của hình hộp là:
(A) \(8, 16, 32\) (B) \(2, 4, 8\)
(C) \(2\sqrt 3 ,4\sqrt 3 ,38\) (D) \(6, 12, 24\)
Lời giải chi tiết:
Gọi ba kích thước của hình hộp chữ nhật là \(a,2a,4a\)
Thể tích hình hộp là: \(V = a.2a.4a = 8{a^3} = 1728 \Leftrightarrow a = 6\).
Vậy ba kích thước đó là 6, 12, 24.
Chọn D.
Câu 15
Các đường chéo của các mặt của hình hộp chữ nhật bằng \(\sqrt 5 ,\sqrt {10} ,\sqrt {13} \). Thể tích của hình hộp đó là:
(A) \(4\) (B) \(5\) (C) \(6\) (D) \(12\)
Lời giải chi tiết:
Gọi kích thước của hình hộp chữ nhật là a, b, c.
Khi đó các đường chéo của 3 mặt (đôi một không song song) là \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} ,\sqrt {{b^2} + {c^2}} ,\sqrt {{c^2} + {a^2}} \)
Theo bài ra ta có \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt 5 ;\sqrt {{b^2} + {c^2}} = \sqrt {10} ;\) \(\sqrt {{c^2} + {a^2}} = \sqrt {13} \)
Suy ra
\(\eqalign{
& {a^2} + {b^2} = 5,{b^2} + {c^2} = 10,{c^2} + {a^2} = 13\cr & \Rightarrow 2({a^2} + {b^2} + {c^2} )= {5 + 10 + 13} \cr &\Rightarrow{a^2} + {b^2} + {c^2} = 14 \cr
& \Rightarrow {a^2} = 4,{b^2} = 1,{c^2} = 9 \cr &\Rightarrow a = 2,b = 1,c = 3 \cr
& \Rightarrow V = abc = 2.1.3 = 6 \cr} \)
Chọn C.
Câu 16
Một khối lăng trụ đứng tam giác có cạnh đáy bằng \(37, 13, 30\) và diện tích xung quanh bằng \(480\). Khi đó thể tích của khối lăng trụ là:
(A) \(2010\) (B) \(1010\)
(C) \(1080\) (D) \(2040\)
Lời giải chi tiết:
Chu vi đáy: \(C = 80\)
Diện tích đáy: \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = 180\)
Diện tích xung quanh \({S_{xq}} = C.h = 480\)
Chiều cao lăng trụ \(h = {{480} \over {80}} = 6\)
Thể tích của khối lăng trụ \(V = S.h = 180.6 = 1080\)
Chọn C.
Câu 17
Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng \(13, 14, 15\), cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc \({30^0}\) và có chiều dài bằng \(8\). Khi đó thể tích của khối lăng trụ là:
(A) \(340\) (B) \(336\)
(C) \(274\sqrt 3 \) (D) \(124\sqrt 3 \)
Lời giải chi tiết:
Gọi H là hình chiếu của A trên mp(A’B’C’)
Ta có: \(\widehat {AA'H} = {30^0}\,\,;\,\,AA' = 8\,\,;\) \(AH = AA\sin {30^0} = 4\)
Nửa chu vi đáy \(p = \frac{{13 + 14 + 15}}{2} = 21\)
Diện tích đáy \({S_{A'B'C'}} = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)
\( = \sqrt {21\left( {21 - 13} \right)\left( {21 - 14} \right)\left( {21 - 15} \right)} \) \(= 84\)
Thể tích khối lăng trụ là: \(V = S.h = 84.4 = 336\)
Chọn B.
Câu 18
Đáy của một hình hộp đứng là hình thoi cạnh \(a\), góc nhọn \({60^0}\). Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của hình hộp. Khi đó thể tích của hình hộp là:
(A) \({a^3}\) (B) \({a^3}\sqrt 3 \)
(C) \({{{a^3}\sqrt 3 } \over 2}\) (D) \({{{a^3}\sqrt 3 } \over 6}\)
Lời giải chi tiết:
Tam giác A’B’C’ là tam giác đều cạnh a
Ta có:
\(\eqalign{
& A'C' = a\cr &B'D' = 2B'O' = 2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}= a\sqrt 3 = A'C \cr
& \Rightarrow CC' = \sqrt {A'{C^2} - A'C{'^2}} \cr &= \sqrt {3{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 2 \cr} \)
Diện tích đáy \({S_{A'B'C'D'}} = {1 \over 2}A'C'.B'D' = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 2}\)
Thể tích khối hộp: \(V = S.h = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 2}.a\sqrt 2 = {{{a^3}\sqrt 6 } \over 2}\)
Chọn D.
Câu 19
Khi độ dài cạnh của hình lập phương tăng thêm \(2cm\) thì thể tích của nó tăng thêm \(98c{m^3}\). Cạnh của hình lâp phương đã cho là:
(A) \(4cm\) (B) \(5cm\)
(C) \(6cm\) (D) \(3cm\)
Lời giải chi tiết:
Gọi \(a\) là độ dài cạnh hình lập phương.
Thể tích hình lập phương cũ là \({a^3}\).
Khi tăng cạnh lên 2cm thì thể tích hình lập phương mới là \({\left( {a + 2} \right)^3}\)
Ta có phương trình \({\left( {a + 2} \right)^3} - {a^3} = 98\)\( \Leftrightarrow {a^3} + 6{a^2} + 12a + 8 - {a^3} = 98\)
\(\Leftrightarrow 6{a^2} + 12a - 90 = 0 \)
\(\Leftrightarrow a = 3\) hoặc a=-5 (loại)
Chọn D.
Câu 20
Cho một hình hộp với sáu mặt đều là hình thoi cạnh \(a\), góc nhọn bằng \({60^0}\). Khi đó thể tích của hình hộp là:
(A) \({{{a^3}\sqrt 3 } \over 3}\) (B) \({{{a^3}\sqrt 2 } \over 2}\)
(C) \({{{a^3}\sqrt 2 } \over 3}\) (D) \({{{a^3}\sqrt 3 } \over 2}\)
Lời giải chi tiết:
\(\Delta A'B'C'\) đều cạnh a
\(A'C' = a\,\,;\,\,B'D' = 2B'O' = a\sqrt 3 \)
Tương tự \(BA' = BC' = BB' = a\) nên hình chiếu \(H\) của \(B\) trên mp(A’B’C’D’) là tâm của tam giác đều \(A’B’C’\)
Ta có: \(BH = \sqrt {BB{'^2} - B'{H^2}} \) \(= \sqrt {{a^2} - {{{a^2}} \over 3}} = {{a\sqrt 6 } \over 3}\)
\({S_{A'B'C'D'}} = {1 \over 2}A'C'.B'D' \) \(= {1 \over 2}a.a\sqrt 3 = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 2}\)
Thể tích khối hộp là: \(V = B.h \) \(= {{{a^2}\sqrt 3 } \over 2}.{{a\sqrt 6 } \over 3} = {{{a^3}\sqrt 2 } \over 2}\)
Chọn B.
Cách khác:
\(\begin{array}{l}
{V_{B.A'B'C'}} = \frac{1}{3}{S_{A'B'C'}}.BH\\
= \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\\
{V_{B.A'B'C'}} = \frac{1}{6}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}\\
\Rightarrow {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = 6{V_{B.A'B'C'}}\\
= 6.\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}
\end{array}\)
Câu 21
Cho một hình lập phương có cạnh bằng \(a\). Khi đó thể tích của khối tám mặt đều mà các đỉnh là tâm của các mặt của hình lập phương đã cho bằng:
(A) \({{{a^3}\sqrt 3 } \over 2}\) (B) \({{{a^3}\sqrt 2 } \over 9}\)
(C) \({{{a^3}} \over 3}\) (D) \({{{a^3}} \over 6}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có, M là trung điểm AC và P là trung điểm AB'.
Do đó MP là đường trung bình của tam giác ACB' nên \(MP = \frac{1}{2}B'C = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Tương tự MR=MQ=MS=NP=NR=NQ=NS\(= \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Do đó ta tính thể tích khối tám mặt đều cạnh \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
\({S_{PSQR}} = {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{2}\)
Ta có: \(PQ = \sqrt {P{S^2} + S{Q^2}} \) \( = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = a\)
Gọi O là giao điểm của PQ và RS thì \(PO = \frac{1}{2}PQ = \frac{a}{2}\)
\( \Rightarrow MO = \sqrt {M{P^2} - O{P^2}} \) \( = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{a}{2}\)
Thể tích khối chóp M.PRQS là:
\({V_{M.PRQS}} = \frac{1}{3}MO.{S_{PRQS}}\) \( = \frac{1}{3}.\frac{a}{2}.\frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{{a^3}}}{{12}}\)
Thể tích khối tám mặt đều là: \(V = 2{V_{M.PRQS}} = 2.\frac{{{a^3}}}{{12}} = \frac{{{a^3}}}{6}\)
Chọn D.
Câu 22
Cho khối tứ diện đều có cạnh bằng \(a\). Khi đó, thể tích của khối tám mặt đều mà các đỉnh là trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đã cho là:
(A) \({{{a^3}\sqrt 2 } \over {24}}\) (B) \({{{a^3}\sqrt 3 } \over {12}}\)
(C) \({{{a^3}\sqrt 2 } \over 6}\) (D) \({{{a^3}\sqrt 3 } \over {24}}\)
Lời giải chi tiết:
Khối tám mặt đều đã cho có cạnh là \({a \over 2}\)
\(RS = \sqrt {R{M^2} + M{S^2}} \) \( = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Gọi O là trung điểm QS thì \(NO = \sqrt {N{R^2} - R{O^2}} \) \( = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\)
\({S_{MRPS}} = {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{4}\)
Thể tích \({V_{N.MRPS}} = \frac{1}{3}NO.{S_{MRPS}}\) \( = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 2 }}{4}.\frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{48}}\)
Thể tích khối bát diện đều \(V = 2{V_{N.MRPS}}\) \( = 2.\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{48}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}\)
Chọn A
Câu 23
Cho khối \(12\) mặt đều \((H)\) có thể tích \(V\) và diện tích mỗi mặt của nó bằng S. Khi đó tổng các khoảng cách từ một điểm nằm trong \((H)\) đến các mặt của nó bằng:
(A) \({{3V} \over {4S}}\) (B) \({V \over {4S}}\)
(C) \({{3V} \over S}\) (D) \({V \over {12S}}\)
Lời giải chi tiết:
Chia khối 12 mặt đều H thành 12 hình chóp tam giác có đỉnh là M, bên trong H đáy là 1 mặt của H.
Gọi V1,V2,V3,…V12 thể tích của 12 hình chóp tam giác đều trên, h1,h2,…h12 là chiều cao của chúng (khoảng cách từ M đến các mặt).
Ta có: \(V = {1 \over 2}{h_1}S + {1 \over 3}{h_2}S + ... + {1 \over 3}{h_{12}}S \) \( = {1 \over 3}S\left( {{h_1} + {h_2} + ... + {h_{12}}} \right)\)
Suy ra \({h_1} + {h_2} + ... + {h_{12}} = {{3V} \over S}\)
Chọn C.
Câu 24
Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng \(19, 20, 37\), chiều cao của khối lăng trụ bằng trung bình cộng của các cạnh đáy. Khi đó thể tích của khối lăng trụ là:
(A) \(2888\) (B) \(1245\sqrt 2 \) (C) \(1123\) (D) \(4273\)
Lời giải chi tiết:
Chiều cao của lăng trụ bằng: \(h = {1 \over 3}\left( {19 + 20 + 37} \right) = {{76} \over 3}\)
Nửa chu vi đáy là \(p = \frac{{19 + 20 + 37}}{2} = 38\)
Diện tích đáy \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = 114\)
Thể tích khối lăng trụ \(V = S.h = {{76} \over 3}.114 = 2888\)
Chọn A.
Câu 25
Đáy của một hình hộp là một hình thoi có cạnh bằng \(6cm\) và góc nhọn bằng \({45^0}\), cạnh bên của hình hộp dài \(10cm\) và tạo với mặt phẳng đáy một góc \({45^0}\). Khi đó thể tích của hình hộp là:
(A) \(124\sqrt 3 \,\,c{m^3}\) (B) \(180\,\,c{m^3}\)
(C) \(120\sqrt 2 \,\,c{m^3}\) (D) \(180\sqrt 2 \,\,c{m^3}\)
Lời giải chi tiết:
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(B’\) trên mp \((ABCD)\)
\(B'H = BB'.\sin {45^0} \) \(= 10.{{\sqrt 2 } \over 2} = 5\sqrt 2 \)
Diện tích đáy \({S_{ABCD}} = 2{S_{ABC}} \) \(= {a^2}\sin {45^0} = {{{a^2}\sqrt 2 } \over 2} = 18\sqrt 2 \)
Thể tích hình hộp \({V_{ABCD}} = {S_{ABCD}}.B'H \) \( = 18\sqrt 2 .5\sqrt 2 = 180\)
Chọn B.
Câu 26
Với một tấm bìa hình vuông, người ta cắt bỏ ở mỗi góc tấm bìa một hình vuông cạnh \(12cm\) rồi gấp lại thành nột hình hộp chữ nhật không có nắp. Nếu dung tích của cái hộp đó là \(4800\) \(c{m^3}\) thì cạnh tấm bìa đó có độ dài là:
(A) \(42cm\) (B) \(36cm\)
(C) \(44cm\) (D) \(38cm\)
Lời giải chi tiết:
Gọi cạnh tấm bìa là \(x (x > 24)\)
Hình hộp chữ nhật có các kích thước là: x - 24, x - 24 và 12 (cm)
Thể tích hình hộp là \(V = 12{\left( {x - 24} \right)^2} = 4800 \) \(\Leftrightarrow x = 44\,\,cm\)
Chọn C.
Câu 27
Cho một hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng \(a\) và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc \(\alpha \). Thể tích của hình chóp đó là:
(A) \({{{a^3}\cot \alpha } \over {12}}\) (B) \({{{a^3}tan\alpha } \over {12}}\)
(C) \({{{a^2}tan\alpha } \over {12}}\) (D) \({{{a^3}tan\alpha } \over 4}\)
Lời giải chi tiết:
Gọi \(H\) là tâm của tam giác đều \(ABC\) thì \(SH \bot \left( {ABC} \right)\)
\(\tan \alpha = {{SH} \over {AH}} \) \( \Rightarrow SH = AH\tan \alpha = {{a\sqrt 3 } \over 3}\tan \alpha \)
ABC là tam giác đều nên \({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)
Thể tích hình chóp là: \(V = {1 \over 3}{S_{ABC}}.SH \) \(= {1 \over 3}{{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}{{a\sqrt 3 } \over 3}\tan \alpha \) \(= {{{a^3}\tan \alpha } \over {12}}\)
Chọn B.
Câu 28
Một hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng \(b\) và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc \(\alpha \). Thể tích của hình chóp là:
(A) \({3 \over 4}{b^3}{\cos ^2}\alpha \sin \alpha \)
(B) \({{\sqrt 3 } \over 4}{b^3}{\cos ^2}\alpha \sin \alpha \)
(C) \({3 \over 4}{b^3}\cos \alpha {\sin ^2}\alpha \)
(D) \({{\sqrt 3 } \over 4}{b^3}\cos \alpha \sin \alpha \)
Lời giải chi tiết:
Gọi \(H\) là tâm của tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a\).
\(SH \bot \left( {ABC} \right)\) và \(\widehat {SAH} = \alpha \).
I là trung điểm của BC, \(AH = {2 \over 3}.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{a\sqrt 3 } \over 3}\)
Trong tam giác vuông AHS có \(\cos \alpha = {{AH} \over {SA}} \Rightarrow b\cos \alpha = {{a\sqrt 3 } \over 3} \) \( \Rightarrow a = b\sqrt 3 \cos \alpha \)
Diện tích tam giác ABC: \({S_{ABC}} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4} = {{3\sqrt 3 } \over 4}{b^2}{\cos ^2}\alpha \)
Mặt khác \(SH = SA\sin \alpha = b\sin \alpha \)
Thể tích hình chóp là \(V = {1 \over 3}{S_{ABC}}.SH = {{\sqrt 3 } \over 4}{b^3}{\cos ^2}\alpha \sin \alpha \)
Chọn B.
Câu 29
Cho hình chóp tứ giác đều \(H\) có diện tích đáy bằng \(4\) và diện tích của một mặt bên bằng \(\sqrt 2 \). Thể tích của \(H\) là:
(A) \({{4\sqrt 3 } \over 3}\) (B) \(4\) (C) \({4 \over 3}\) (D) \({{4\sqrt 3 } \over 2}\)
Lời giải chi tiết:
Gọi O là tâm hình vuông ABCD, I là trung điểm của CD
\(\eqalign{
& SO \bot \left( {ABCD} \right)\cr &{S_{ABCD}} = 4 = C{D^2} \Rightarrow CD = 2 \cr
& {S_{SCD}} = {1 \over 2}SI.CD = \sqrt 2 \cr&\Rightarrow SI = \sqrt 2 \cr
& S{O^2} = S{I^2} - O{I^2} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} - {1^2} = 1\cr& \Rightarrow SO = 1 \cr
& {V_H} = {1 \over 3}SO.{S_{ABCD}} = {4 \over 3} \cr} \)
Chọn C.
Câu 30
Một khối chóp tam giác có cạnh đáy bằng \(6, 8, 10\). Một cạnh bên có độ dài bằng \(4\) và tạo với đáy góc \({60^0}\). Thể tích của khối chóp đó là:
(A) \(16\sqrt 3 \) (B) \(8\sqrt 3 \) (C) \(16{{\sqrt 2 } \over 3}\) (D) \(16\pi \)
Lời giải chi tiết:
Kẻ đường cao SH của hình chóp S.ABC
\(SH = SA.\sin {60^0}\) \( = 4.{{\sqrt 3 } \over 2} = 2\sqrt 3 \)
Nửa chu vi đáy là: \(p = \frac{{6 + 8 + 10}}{2} = 12\)
Diện tích tam giác ABC là \({S_{ABC}} = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = 24\)
Thể tích của khối chóp là \(V = {1 \over 3}{S_{ABC}}.SH \) \(= {1 \over 3}.24.2\sqrt 3 = 16\sqrt 3 \)
Chọn A.
Chú ý:
Có thể nhận xét tam giác ABC có \({6^2} + {8^2} = {10^2}\) nên là tam giác vuông.
Do đó diện tích đáy \(S = \frac{1}{2}.6.8 = 24\)
Câu 31
Nếu một hình chóp đều có chiều cao và cạnh đáy cùng tăng lên n lần thì thể tích của nó tăng lên:
(A) \({n^2}\) lần (B) \(2{n^2}\) lần
(C) \({n^3}\) lần (D) \(2{n^3}\) lần
Lời giải chi tiết:
Ta có \(V = B.h\). Nếu cạnh đáy của đa giác đều tăng lên n lần thì diện tích đáy tăng lên \({n^2}\) lần, khi đó thể tích tăng lên \({n^3}\) lần.
Chọn C.
Câu 32
Khi chiều cao của một hình chóp đều tăng lên n lần nhưng mỗi cạnh đáy giảm đi n lần thì thể tích của nó:
(A) Không thay đổi (B) Tăng lên n lần
(C) Tăng lên (n – 1) lần (D) Giảm đi n lần.
Lời giải chi tiết:
Ta có \(V = B.h\). Nếu cạnh đáy của đa giác đều giảm đi n lần thì diện tích đáy giảm đi \({n^2}\) lần, khi đó thể tích giảm n lần.
Chọn D.
